Poisson-Verteilung bzw. Näherung

31.05.2008, 21:00	donvito	Auf diesen Beitrag antworten »
Poisson-Verteilung bzw. Näherung Ich habe hier mal ein paar Fragen zur Poisson-Verteilung bzw. der Näherung. Aus unserem Skript geht das nämlich für mich nicht klar hervor. DAs Skript findet ihr hier: http://www.stochastik.uni-freiburg.de/Vo...8/VorStochINFO/ Jetzt die Fragen: Was ist dieses $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ und wie berechne ich das? Bei Wikipedia steht, die Poisson-Verteilung ist eine Näherung. In unserem Skript wird dagege3n zwischen der Poisson-Verteilung und der Näherung unterschieden. Blickt da jemand durch? Ich habe das so verstanden, dass die Poisson-Verteilung bei kleinen Wahrscheinlichkeiten und im Vergleich dazu großen Testreihen gilt. Allerdings nur wenn sich das Ereignis auf zwei Fälle reduzieren läßt. Wir sollen dazu auch eine Aufgabe machen: 5% aller Flugg¨aste erscheinen in der Regel nicht zum Abflug. Die Fluggesellschaft verkauft deshalb 95 Tickets f¨ur 93 Pl¨atze. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhalten alle Flugg¨aste einen Platz? Berechnen sie die Wahrscheinlichkeit exakt und mit Hilfe der Poisson-Approximation. Ich denke ich muss da folgendes Berechnen, bin aber aufgrund der o.g. Problematik alles andere als sicher... $\begin{eqnarray} P(X=0) = (1-0,05)^{\frac{2}{93}} = 0,9988 \end{eqnarray}$
01.06.2008, 11:41	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Poisson-Verteilung ist zunächst eine Verteilung auf der Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen. Sie kann näherungsweise eine Binomialverteilung ersetzen: $\begin{eqnarray} P(\lambda; k) \approx B(n,p;k) \ \ \text{mit} \ \ \lambda = np \end{eqnarray}$ und zwar unter der Voraussetzung, daß $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ groß gegenüber $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ ist und $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ nicht zu groß wird. Was diese unscharfen Charakterisierungen genau sagen, mußt du Numeriker oder praktische Stochastiker befragen. Aber es lohnt sich, das einmal auszuprobieren. Nehmen wir $\begin{eqnarray} n = 1000 \, , \ \ p = 0{,}002 \, ; \ \ \ \text{also} \ \ \lambda = 2 \end{eqnarray}$ Die Werte der Tabelle habe ich mit EXCEL ausgerechnet. Sie stehen also unter all den Vorbehalten, die man diesem Programm gegenüber anbringen muß. $\begin{eqnarray} \begin{matrix} k & \text{binomial} & \text{Poisson} \\ 0 & 0,13506 & 0,13534 \\ 1 & 0,27067 & 0,27067 \\ 2 & 0,27094 & 0,27067 \\ 3 & 0,18063 & 0,18045 \\ 4 & 0,09022 & 0,09022 \end{matrix} \end{eqnarray}$ Und jetzt bedenke, was für ein Rechenaufwand hinter der Berechnung der Binomialverteilung steckt und wie einfach das bei der Poisson-Verteilung ist.
01.06.2008, 11:52	donvito	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, das hilft mir schonmal sehr weiter. Vorallem weiß ich jetzt wo dieses Lambda her kommt... ist k die Anzahl der Experimente oder was? Könnt ihr mir jetzt noch einen Tipp zur Aufgabe geben?

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