Q[X, Y] Hauptidealring?

14.02.2006, 20:25

schlimu

Q[X, Y] Hauptidealring?

Hi,

ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[X,Y] \end{eqnarray*}$ ein Hauptidealring?

Ich bin der Meinung, dass es das nicht ist.
Das ist aber eher so eine "Gefühlssache", weil ich nicht weiß wie ich da rangehen soll.
Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[X] \end{eqnarray*}$ kein Hauptidealring ist.
Kann ich daraus irgendwas bzgl. dieser Aufgabe ableiten?

Gruß

Lars

14.02.2006, 22:18

quarague

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wikipedia hilft
die betrachten das Beispiel IC[X,Y] dass ist kein Hauptidealring, das Ideal das von X und Y erzeugt wird, ist kein Hauptideal. Ich denke das sollte über IQ genauso funktionieren.

14.02.2006, 22:37

schlimu

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Ein Zitat aus dem Wikipedia-Eintrag für "Integritätsring":

Zitat:

Betrachte zum Beispiel den kommutativen Ring $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}[X,Y] \end{eqnarray*}$ aller Polynome in zwei Unbestimmten mit komplexen Koeffizienten. Das von X und Y erzeugte Ideal, (X, Y), besteht aus allen Polynomen aus , deren Absolutglied gleich 0 ist. Dieses Ideal ist kein Hauptideal, denn wäre ein Polynom $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ein Erzeuger von (X, Y), dann müssten X und Y Vielfache von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ sein; dies ist unmöglich, wenn p nicht konstant ist. Das einzige konstante Polynom in (X, Y) ist aber das Nullpolynom, und wir haben einen Widerspruch.

1. Bedeutet das, dass ein Erzeuger eines Ideals oder vielleicht sogar eines Hauptideals stets konstant sein muss?

2. Woran sehe ich, dass das von X und Y erzeugte Ideal konstante Terme $\begin{eqnarray*} = 0 \end{eqnarray*}$ hat?

Ich bin bei dem Thema Ideale total unsicher...

15.02.2006, 00:29

JochenX

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beachte, dass das von x erzeugte Ideal (x)=x*R Elemente der Form x*r mit r aus R (R ist dein Polynomring) hat.
Hat r nicht schon selbst das konstante Glied 0, sondern zum Beispiel c, dann wird das in (x) zu ......+c*x

also kein konstantes Glied mehr....

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