Gleichmäßige Konvergenz

02.05.2004, 13:40	Joda	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichmäßige Konvergenz Hallo zusammen, Ich habe die Reihen $\begin{align} \Bigsum_{n=1}^{oo}~{\frac{cos(nx)} {n^p} \end{align}$ $\begin{align} \Bigsum_{n=1}^{oo}~{\frac{sin(nx)} {n^p} \end{align}$ Nun soll ich zeigen, dass diese auf jedes Intervall $\begin{align} I c \calR \end{align}$ mit p > 1 gleichmäßig konvergieren. Wie mache ich das?
04.05.2004, 17:04	Mario	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann unabhängig vom gewählten x\in I die Terme \|sin nx\| und \|cos nx\| nach oben durch 1 abschätzen. Damit hast Du eine konvergente harmoniche Reihe als gleichmäßige Majorante. Das dürfte für gleichmäßige absolute Konvergenz ausreichend sein: Sei \eps>0, dann ex. n0\in IN, so dass für m>n>=n0 gilt: $\begin{align} 0\leq \sup_{x\in I}\Bigsum_{k=n}^m~ \frac{\|cos kx\|}{k^p} \leq \Bigsum_{k=n}^m~ \sup_{x\in I}\frac{\|cos kx\|}{k^p}\leq \Bigsum_{k=n}^m~ \frac{1}{k^p}< \vareps \end{align}$ \| Das wäre abs. glm. Konv. mittels Cauchykriterium. Ist aber nur ein Vorschlag, müsste nochmal genauer drüber nachdenken

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