Auf ein neues.. Ableitung von einer exponentialfunktion...

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15.02.2006, 16:55

Homie

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Auf ein neues.. Ableitung von einer exponentialfunktion...

hinweis Jochen: habe ausversehen den ursprungspost editiert, statt antworten zu drücken unglücklich

Zitat:

ich hatte da die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=2hochx \end{eqnarray*}$

schreibe "^" statt "hoch" im latex
$\begin{eqnarray*} f(x)=2^x \end{eqnarray*}$

Zitat:

Eigentlich ist die Ableitung ja: $\begin{eqnarray*} f(x)=2hochx*1n*2 \end{eqnarray*}$ , oder?

nicht 1n, sondern "ln", in latex auch "\ln" geschrieben, aber die ableitung stimmt
dieses "ln" steht für "logarithmus naturalis", der natürliche logarithmus,logarithmus wie jeder andere, eben zur basis e=2,718....
beantwortet wohl auch:

Zitat:

wenn ja, wie wird dieses 1n oder In ausgesprochen... hab das bis jetzt immer nur gelesen :-)

einfach "L"-"N", zwei buchstaben aussprechen Augenzwinkern

, ähnlich wie "log"

Zitat:

dann noch weitere fragen... ist 2 die basis e?

2 ist eine zahl und hat gar nix mit der basis e zu tun Augenzwinkern

Zitat:

demnach wäre der faktor vor e gleich 1... dann würde der graph ja nicht gesterckt und nicht gestaucht sein... oder ist 2 etwa der faktor vor der basis e? dann müsste der graph doch gestaucht sein, oder?

hÄ? das musst nochmal formulieren....
es gilt auf jeden fall 0=ln(1)<ln(2)<ln(e)=1

15.02.2006, 16:59

Lazarus

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das kann man umschreiben zur basis e:
$\begin{eqnarray*} f(x)=2^x=e^{x\cdot \ln{2}} \end{eqnarray*}$
das lässt sich dann leicht ableiten.
ln (geschrieben LN) ist der natürliche logarithmus und bezeichnet die zahl mit der mit der e potenziert werden muss um die gewünschte zahl (hier 2) zu bekommen.

15.02.2006, 17:00

therisen

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Du meinst wohl den natürlichen Logarithmus ln (das ist ein kleines L!), das ist der Logarithmus zur Basis e.

Es ist $\begin{eqnarray*} f(x)=2^x=e^{x\ln(2)} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt musst du nur noch nach der Kettenregel ableiten!

Gruß, therisen

15.02.2006, 17:02

JochenX

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ach verdammt, ich hab deinen beitrag editiert, statt zu antworten

ENTSCHULDIGE traurig

MIST

15.02.2006, 17:03

therisen

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Zitat:

Original von LOED
ach verdammt, ich hab deinen beitrag editiert, statt zu antworten

ENTSCHULDIGE traurig

MIST

Looool, und ich dachte schon, ich seh nicht mehr richtig, weil der Beitrag auf einmal ein ganz anderer ist Big Laugh

15.02.2006, 17:06

Homie

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Mooooment mal.... wo nehme ich denn jetzt e her? Wir hatten dazu noch gar nichts in der schule... deswegen rall ich gerade auch gar nichts... wäre nett, wenn mir noch mal jemand helfen könnte... ach und komme ich dann von meiner ableitung $\begin{eqnarray*} f´(x)=2hochx*ln*2 \end{eqnarray*}$ auf diese ableitung mit e... odre ist das noch gar keine ableitung? Muss ich dann von der ableitung mit der basis e ableiten?

15.02.2006, 17:09

JochenX

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noch ein latex-hinweis:
benutze ' statt ´, denn frefoxuser sehen sonst sowas: $\begin{eqnarray*} f^4 \end{eqnarray*}$ , statt f'
beachte auch meinen hinweis (in deinem post unglücklich

), "^" für hoch zu verwenden

das e kommt daher, dass du da eben genau weißt, wie du es abzuleiten hast
es gilt (e^x)'=e^x

darum schreibst du 2^x um, wie therisen oben geschrieben hat und kannst dann mit kettenregel das hier herleiten......

gruß jochen

@therisen: Augenzwinkern

15.02.2006, 17:10

Lazarus

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$\begin{eqnarray*} f'(x)=2^x\cdot \ln{\left(2\right)} \end{eqnarray*}$
ist die ableitung ja.
hinkommen tut man durch anwenden der kettenregel und der differentiation der expotentialfunktion 2^x (=e^(x*ln(2)))

was verstehst du denn nun genau nicht alles ?

\\edit: LOED sieht alles Augenzwinkern

hatte es wohl zu eilig.

15.02.2006, 17:11

JochenX

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Zitat:

Original von Lazarus
2^x (=e^(x*ln(x)))

ln(2)

vielleicht noch den zwischenschritt:
$\begin{eqnarray*} 2^x=e^{\ln(2^x)} \end{eqnarray*}$ , weil e^ln(a)=a
und DANACH noch logarithmengesetze im exponenten durchführen

15.02.2006, 17:20

Homie

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ihr seid echt zu cool... und dennoch bin ich am verzweifeln.. Hilfe

sorry noch mal wegen dem "^" hab die nachricht erst nsch dem schreiben gelesen... war also keine absicht ;-)

also: wir haben die auf gabe den graphen der funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=2^x \end{eqnarray*}$ zu zeichnen... so weit kein problem..

dann sollen wir den graphen der ableitungsfunktion zeichnen... 1. problem! wie sieht die ableitung aus? also: $\begin{eqnarray*} f(x)=2^x*ln*2 \end{eqnarray*}$ das habe ich inzwischen dann auch verstanden... weiß jetzt nur nicht, wie ich zu diesem dings mit e komme!?! und dann den graph zeichne...
und gestern cshrieb mir jemand, dass ableitung nicht gleich funktion ist, sondern, dass es auch noch eine stauchung oder streckung gibt.. das verwirrt mich allles total...
aber:

ICH WILL DAS SCHAFFEN!!!

PS: hoffe habe jetzt alles richtig gemacht =)

15.02.2006, 17:22

JochenX

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beachte, der "ln" ist zu handhaben wie jeder logarithmus, du findest ihn sogar auf dem TR
für eine skizzierung der ableitung kannst du sogar einen gerundeten wert nehmen

wichtig: ln(2)>0, also keine "umkehrung" deiner funktion
aber ln(2)<1, also eine stauchung in y-richtung

15.02.2006, 17:28

Homie

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meine güte? Was ist denn jetzt schon wieder eine "umkehrung".. ich weiß, ich klinge blöd, habe aber noch nichts dergleichen jemals gesehen, geschweige denn gerechnet...

stauchung in y richtung heißt doch, der graph steigt schneller, oder? wenn ich das nun von hand zeichnen soll, wie bestimme ich dann die steigung?

tut mir echt leid, dass ich das nicht verstehe.. aber ich würd ja so gern... =(

15.02.2006, 17:30

JochenX

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umkehrung, damit meinte ich klappen an der x-achse (darum die "")

wenn du einen negaitiven faktor dazubekommst, dann spiegelst du das doch an der x-achse; vgl y=x^2 und y=-x^2
ln(2) ist ein POSITIVER wert, deine funktion wird also nur gestreckt oder gestaucht
stauchen heißt dabei, dass sie "kleingedrückt" wird, also weniger schnell steigt als die andere

ln(2) ist ungefaähr 0,69....

vergleiche:

15.02.2006, 17:33

Homie

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ach und bei der kettenregel... ist e da so etwas wie eine variable?

15.02.2006, 17:37

JochenX

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e ist eine feste Zahl, e ist ungefähr 2,718 (ungrad)
e hat den tollen effekt, dass die ableitung der funktion f(x)=e^x gerade wieder f'=e^x ist.....

f(x)=e^(g(x)) mit kettenregel dann ebn zu: f'(x)=e^(g(x))*g'(x)

15.02.2006, 18:02

Homie

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aber ich hab doch bei $\begin{eqnarray*} f(x)=)2^x \end{eqnarray*}$ gar keine chnace diese regel anzuwenden!?! mennooooooo verwirrt

15.02.2006, 18:09

therisen

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Doch, indem du so umformst, wie ich geschrieben habe!

15.02.2006, 18:18

Homie

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ihr würdet mir echt einen gefallen tun, wenn ihr noch mal schritt für schritt sagt, wie ich von $\begin{eqnarray*} f(x)=2^x*ln(2) \end{eqnarray*}$ weiter rechnen muss... überschüttet mich bitte nicht so sehr mit gesetzen von denen ich noch nie etwas gehört habe Gott

das wäre echt super, denn sonst drehe ich noch durch traurig

15.02.2006, 18:20

JochenX

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$\begin{eqnarray*} f(x)=2^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=2^x*\ln(2) \end{eqnarray*}$

meintest du in deinem letzten post jetzt f oder f'?
was willst du denn mit f' noch weiterrechen?

15.02.2006, 18:22

Homie

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na die schrieben vorhin alle, dass ich mit irgendeiner kettenregel weiterrechnen soll... um auf so was mit e und ln und so zu kommen, ich muss nämlich den graphen der ableitung zeichen..

15.02.2006, 18:26

JochenX

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noch mal ganz in ruhe

f(x)=2^x, da wissen wir ja nicht, wie wir das ableiten sollen ( verwirrt

<-- das sind wir)
DESWEGEN formen wir erst mal f(x) um, schreiben es anders

da wird, wie oben steht dann $\begin{eqnarray*} f(x)=2^x=e^{x*\ln(2)} \end{eqnarray*}$ draus
das ist die GLEICHE funktion, aber in DIESER schreibweise können wir ableiten ( Idee!

)

wir finden die ableitung von f in der zweiten schreibweise mithilfe der kettenregel und am ende finden wir dann die FERTIGE ableitung $\begin{eqnarray*} f'=\ln(2)*2^x \end{eqnarray*}$

15.02.2006, 18:34

Homie

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okay... erster teil schon mal verstanden! Ich weiß nur nicht wie man diese kettenregel anwendet... da steht immer etwas von inner äußerer funktion... wie sind denn die schritte beim umformen?

ach, und noch etwas... die 2. schreibweise... die ist einfach so, oder? die kann man nicht irgendwie durch eine regel herleiten, oder?

15.02.2006, 18:38

therisen

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Die "2. Schreibweise" ist per definitionem so!

15.02.2006, 18:39

PimpWizkid

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ich form noch mal anders/weiter um, damit es vielleicht noch deutlicher wird (wenns hilft...):

$\begin{eqnarray*} f(x)=2^x=e^{\ln(2^{x})}=e^{x*\ln(2)} \end{eqnarray*}$

Im ersten Schritt wendet man an, dass die e-Funktion und der Logarithmus quasi Umkehr funktionen zueinander sind und sich quasi aufgeben. D.h. wie haben den selben Term nur anders!

Im zweiten schritt wendet man das hier an $\begin{eqnarray*} \ln(a^{b})= b*\ln(a) \end{eqnarray*}$ (das sollte ne bekannt Logarithmusregel aus der 10 sein)

15.02.2006, 18:40

JochenX

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Zitat:

wie sind denn die schritte beim umformen?

die schritte sind wie folgt:

bedenke die definition des logarithmus als umkehrfunktion zur exponentialfunktion

insbesondere gilt für alle logarithmen $\begin{eqnarray*} a^{\log_a~(x)}=x \end{eqnarray*}$ (denke an die def. vom logarithmus (für positive a!)).
insbesondere also auch $\begin{eqnarray*} e^{\log_e~(x)}=x \end{eqnarray*}$ (log_e schreiben wir eben kurz "ln", wegen faulheit Augenzwinkern

)

damit gilt also $\begin{eqnarray*} 2^x=e^{\ln(2^x)} \end{eqnarray*}$ ; ein logarithmengesetz besagt aber $\begin{eqnarray*} \log(a^b)=b*\log(a) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \ln(2^x)=x*\ln(2) \end{eqnarray*}$
und damit bekommen wir für 2^x obige darstelllung

hast du das soweit verstanden!?

15.02.2006, 18:49

Homie

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alles klar verstanden! ist ja doch nicht so schwer =)

Wenn ich den graphen jetzt per hand zeichnen muss, ist dann ln(2) die steigung? meine güte..... wenn das jetzt mal richtig ist...

15.02.2006, 18:54

JochenX

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nein, beachte, dass die steigung NICHT konstant ist, es ist doch keine gerade!

bislang haben wir ja auch nur f umgeschrieben.
in der form f(x)=e^... können wir f nun ABLEITEN

KETTENREGEL ergibt:
$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{x*\ln(2)} => f'(x)=\ln(2)*e^{x*\ln(2)} \end{eqnarray*}$ (schau dir die kettenregel an, dann weißt du wieso)
das hintere ist dann gerade wieder 2^x, also bekommen wir die einfache form $\begin{eqnarray*} f(x)=\ln(2)*2^x \end{eqnarray*}$

DAS ist deine ableitunsfunktion, die kannst du skizzieren, am besten durch eine wertetabelle
beachte aber, dass das ln(2) ein fester wert ist und das ganze im gegensatz zu f also nur gestaucht wurde

15.02.2006, 19:40

Homie

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ich habe jetzt alles verstanden, AU?ER, das mit der kettenregel! ich kann einfach nicht erkennen, wie man die einsetzen muss...mit inner und äußerer ableitung! Das ist irgendwie nicht zu verstehen traurig

15.02.2006, 19:45

Homie

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sind die zwei verketteten funktionen zufällig x*ln(2) und $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ ? das wär cool....

15.02.2006, 22:28

PimpWizkid

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x*ln2 leitet man ganz normal ab als wenn ln2 n vorfaktor von x wäre -> also f(x)=ln2*x f'(x)=ln2

wie ich dir die kettenregel genau und einfach erklären soll fällt mir atm noch nicht ein

16.02.2006, 02:32

JochenX

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Zitat:

Original von Homie
sind die zwei verketteten funktionen zufällig x*ln(2) und $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ ? das wär cool....

eigentlich ja!
zur entwirrung kannst du ja v=x*ln(2) setzen (nur anderer name, wegen doppelbelegung des x bei dir)
dann ist deine innere funktion v und die äußere e^v

aber im prinzip hast du recht; äußere e-funktion, die bleibt beim ableiten stehen (e^v)'=e^v
innere der exponent der e-funktion hier v=x*ln(2), v'=ln(2)

und dann zusammensetzen

Freude

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