Facharbeit Fibonacci / Goldener Schnitt

15.02.2006, 20:40

DasBruce

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Facharbeit Fibonacci / Goldener Schnitt

Hallo an alle.

Ich bin in der 12. Klasse eines Gymnasiums in Hannover und bin gerade dabei, meine Facharbeit zu schreiben.

Das Thema meiner Facharbeit lautet: Fibonacci-Zahlen und Goldener Schnitt

Ich schreibe euch einmal kurz die Aufgabenstellung dazu auf:
Geben Sie eine explizite und rekursive Darstellung der Fibonacci-Zahlen $\begin{eqnarray*} (f_{n})_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ an und erläutern Sie die Folge $\begin{eqnarray*} (f_{n}) \end{eqnarray*}$ an einem praktischen Beispiel.
Beweisen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{f_{n+1}}{f_{n}} = \equiv \end{eqnarray*}$ gilt, wobei $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ für den goldenen Schnitt steht.
Beweisen Sie, dass $\begin{eqnarray*} f_{n+2}=f_{n}+f_{n-1}+...+f_{1}+1 \end{eqnarray*}$ gilt.
Beweisen Sie die sogenannte Simpson-Identität:
Für jede natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n\geq2 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} f_{n+1}*f_{n-1}-f_{n}^{2}=(-1)^{n} \end{eqnarray*}$

Dies ist der exakte Wortlaut der Facharbeit, wobei das Zeichen für den goldenen Schnitt hier beliebig gewählt wurde, da ich phi nicht gefunden habe Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich möchte mal meinen aktuellen Stand der Dinge schildern:
Die erste Aufgabe mit der Darstellung ist glaub ich kein Problem. Zum einen die standart Formel und zum anderen die Binet-Formel.
Die Erläuterung an einem praktischen Beispiel würde ich mit der Kaninchenaufgabe lösen. Ist das so in Ordnung?
Den goldenen Schnitt dürfte ich auch hinbekommen...
Jedoch hake ich bei den letzten beiden Teilen. Bei dem ersten hab ich gar keine ahnung und bei der Simpson-Identität weiß ich auch nicht weiter.

Ich wäre über jede Hilfe sehr erfreut... Prost

Prost

Ach ja... könnte mir jemand noch einmal nebenbei schreiben, was genau $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~k \end{eqnarray*}$ bedeutet? Haben das nur kurz in der Schule angerissen.

Und bitte so schreiben, dass es auch ein "kleiner" 12. Klässler versteht Augenzwinkern

Augenzwinkern

danke im Voraus an alle

15.02.2006, 20:50

zeta

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hattet ihr "Vollständige Induktion"? das ist recht hilfreich für die deine aufgaben (eh immer ein guter ansatz, wenn man etwas für alle natürlichen zahlen zeigen soll)

das erste summenzeichen bedeutet

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=j}^n k = j + (j+1) + \dots + (n-1) + n \end{eqnarray*}$

beim zweiten meinst du wohl unednliche reihen (habt ihr die gehabt?)

15.02.2006, 20:58

DasBruce

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Zum Verständniss:

Wenn unter dem Summenzeichen jetzt "k=Term" steht, dann wird der Term in deinem Fall für "j" eingesetzt?!
Oder ist "j" die Zahl, welche dazuaddiert wird? Oder wird immer 1 dazuaddiert?
Und "n" ist dann der Wert, bei dem die Summe "endet"?!

Unendliche Reihen hatten wir meines Wissens noch nicht... das ist mir nur aufgefallen, als ich im Internet ein wenig gegoogled habe. Aber das werde ich dann wohl kaum gebrauchen können.

Vollständige Induktion habe ich schon einmal gehört... eventuell auch mal kurz angewand, aber ich kann mich leider nicht mehr dran erinnern... sry Hilfe

Hilfe

15.02.2006, 21:06

zeta

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achtung didaktik: wir verknüpfen den summenbegriff mit einem induktionsbeispiel und zwar dem klassiker:

es begab sich, dass der junge gauss matheunterricht hatte. sein lehrer wollte mal ein paar minuten ruhe haben und forderte die schüler auf, alle zahlen von eins bis hundert zu summieren, also 1+2+...+99+100. tja, pech gehabt: 5050 sagte gauss, und der lehrer hatte keine pause gehabt.

aber wie war gauß darauf gekommen? er sagte sich:

1+2+3+...+98+99+100
= (1+100)+(2+99)+(3+98)+...+(50+51)
= 50*101=5050.

interessiert? man kann nämlich per induktionn zeigen, dass gilt:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

15.02.2006, 21:41

stevesislay

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Kann man die Fibonacci-Reihe überhaupt explizit darstellen?

15.02.2006, 21:57

DasBruce

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hm... sry, zeta, aber deine antwort hat mich nicht weiter gebracht. das beispiel mit gauss kenne ich schon... aber 50*51 macht nicht 5050 Augenzwinkern

Augenzwinkern

sondern 50*101=5050...

und das mit der summenfolge macht mich auch nicht schlau...

könntest du mir das mit variablen so aufschreiben, dass man sieht, welche werte (über, unter und rechts von dem eckigen "E") wo dann danch stehen... also "n", "k", und die zahl, die bei "k=" steht... das würde mir schon sehr weiterhelfen... danke trotzdem und weiterhin für antworten smile

smile

@ stevesislay:
google mal nach der binet-formel... da müssteste was finden... oder einfach nach fibonacci

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15.02.2006, 22:03

DGU

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Zitat:

Original von stevesislay
Kann man die Fibonacci-Reihe überhaupt explizit darstellen?

ja:
http://de.wikipedia.org/wiki/Fibonacci-F...ormel_von_Binet

15.02.2006, 22:11

zeta

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hast recht, habs editiert

also wenn man keinen bock hat, 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 zu schreiben, dann kann man sagen: bilde die summe aus den zahlen von 1 bis 10. statt zahlen setzt man dann k, also bedeutet $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k = (fuer k 1 einsetzen) + (fuer k 2 einsetzen) + ... + (fuer k 10 einsetzen) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 \end{eqnarray*}$

anderes beispiel:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^5 (2k+1) = (2*1+1) + (2*2+1) + (2*3+1) + (2*4+1) + (2*5+1) \end{eqnarray*}$

allgemein kann man bis n machen (nicht nur bis 5 oder so) und auch irgendwo anders als bei 1 anfangen (z.b. bei j oder so)

15.02.2006, 22:56

Ben Sisko

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Und zur vollständigen Induktion: Workshop

15.02.2006, 23:25

Sciencefreak

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Ich durfte auch ne Facharbeit drüber schreiben. Da ist noch mal schön die Herleitung der Formel von Binet.
Damit solltest du die Sache mit dem goldenen Schnitt und die Simpson-Identität beweisen können.
Für die letzte Aufgabe schau die mal die rekursive Bildungsvorschrift an
Es ist ein PDf-Dokument, also einfach nur kopieren wird schwierig, wenn du das machen willst. Und dein Lehrer wird dir auch nicht glauben, dass du das so aufgeschrieben hast.
(Beurteilung von Professor an der Uni:"die Herleitung ist ganz schön knapp und somit schwer nachzuvollziehen")

16.02.2006, 00:04

DasBruce

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ok... die .pdf-datei ist echt n bissel knapp und präzise... also für mich unverständlich Augenzwinkern

Augenzwinkern

aber ich glaube, dass ich das mit der summe und der vollständigen induktion jetzt gerafft habe...

vielen dank an alle ! Prost

Prost

wenn ich noch weitere freagen habe, dann werde ich mich noch einmal melden...

16.02.2006, 13:10

Frooke

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Noch was notatorisches: Du kannst den goldenen Schnitt zwar grundsätzlich bezeichnen, aber
$\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ ist wegen der Kongruenz etwas ungünstig. Im allgemeinen wird er mit $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ bezeichnet!

Lg

16.02.2006, 13:40

phi

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Hmm, mein Steckenpferd,

Was erstaunlich ist: Es gibt noch mehr Zahlen mit der merkwürdigen Eigenschaft, dass ihre Kehrwerte die gleichen Stellen nach dem Komma haben:

Goldener Schnitt: $\begin{eqnarray*} x^2-x-1=0 ~ \Rightarrow ~ x_1=\varphi=1.618033... \end{eqnarray*}$
Silberner Schnitt: $\begin{eqnarray*} x^2-2x-1=0 ~ \Rightarrow ~ x_1=\sigma=2.41421...=1+\sqrt{2} \end{eqnarray*}$
Bronzener Schnitt: $\begin{eqnarray*} x^2-3x-1=0 ~ \Rightarrow ~ x_1=\beta=3.30277... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2-4x-1=... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2-5x-1=... \end{eqnarray*}$

...
...

mfg, phi

16.02.2006, 14:35

DasBruce

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das gewählte zeichen habe ich nur genommen, da ich phi bzw alternativ-phi nicht gefunden habe... welches sollte ich denn generell verwenden? das normla oder das alternative phi?

16.02.2006, 14:55

therisen

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Zitat:

Original von Frooke
Noch was notatorisches: Du kannst den goldenen Schnitt zwar grundsätzlich bezeichnen, aber
$\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ ist wegen der Kongruenz etwas ungünstig. Im allgemeinen wird er mit $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ bezeichnet!

Lg

Also eigentlich wird er ja im allgemeinen mit $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ bezeichnet Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß, therisen

20.02.2006, 21:51

Frooke

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@therisen: Hauptsache Phi smile

smile

19.01.2009, 15:05

RockNRollQueen

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fibonacci-folge
hallo
ich schreibe nun ebenfalls über diese folge facharbeit
deswegen frage ich, ob ich vll die quellen bekommen könnte,die du "dasbruce" verwendet hast

oder hat sonst jdn sehr gute quellen dazu???
wäre nett danke

19.01.2009, 15:25

Jacques

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Hallo,

Der Thread ist drei Jahre alt, und DasBruce war seitdem nicht mehr aktiv -- also von dieser Seite wirst Du wahrscheinlich keine Quellen mehr bekommen. ;-)

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