Mächtigkeit

15.02.2006, 23:32

bishop

Mächtigkeit

guten abend alle zusammen,

eine Gerade enthält unendlich viele (punktförmige) Elemente. Nun spanne ich eine Ebene auf. Enthält sie nun $\begin{eqnarray*} \infty² \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ (punktförmige) Elemente? Wie am Threadtitel erkennbar geht es mir um die Mächtigkeit einer Menge, ich hab nie richtig verstanden wann eine Menge die Mächtigkeit $\begin{eqnarray*} \aleph \end{eqnarray*}$ und wann höher hat. Wäre für Hilfe dankbar

gruß, bishop

16.02.2006, 00:04

Gast0

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Eine unendliche Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist immer gleichmächtig zu ihrem kartesischen Produkt mit sich selber, d.h. $\begin{eqnarray*} \left| M \times M \right| = |M|. \end{eqnarray*}$
Also enthält deine Ebene (als Menge von Paaren) genauso viele Punkte wie deine Gerade.

16.02.2006, 00:07

bishop

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alles klar... leuchtet mir zwar nicht ein, aber ich glaubs einfach mal. Wann wäre denn $\begin{eqnarray*} \aleph² \end{eqnarray*}$ erreicht?

16.02.2006, 02:39

JochenX

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eigentlich nie...
es sollte "prinzipiell" $\begin{eqnarray*} \aleph=\aleph^2 \end{eqnarray*}$ gelten Augenzwinkern

übrigens kenne ich die bezeichnung $\begin{eqnarray*} \aleph_0 \end{eqnarray*}$ für card(IN)

16.02.2006, 10:30

papahuhn

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Zitat:

Original von bishop
alles klar... leuchtet mir zwar nicht ein, aber ich glaubs einfach mal. Wann wäre denn $\begin{eqnarray*} \aleph² \end{eqnarray*}$ erreicht?

Die Bezeichnung $\begin{eqnarray*} \aleph^2 \end{eqnarray*}$ kenne ich auch nicht. $\begin{eqnarray*} |\mathbb N| = \aleph_0 \end{eqnarray*}$ . Wie man genau an $\begin{eqnarray*} \aleph_1, \aleph_2 \end{eqnarray*}$ kommt, lässt sich nur mit Hilfe der Kontinuumshypothese klären. Aber man kann leicht "mindestens" auf $\begin{eqnarray*} \aleph_1, \aleph_2, ... \end{eqnarray*}$ kommen, indem man die Potenzmenge einer Menge bildet. $\begin{eqnarray*} |Pot(\mathbb N)| \end{eqnarray*}$ hat mindestens Mächtigkeit $\begin{eqnarray*} \aleph_1 \end{eqnarray*}$ . Dementsprechend geht es weiter. Und zwar immer weiter. die Indizes der $\begin{eqnarray*} \aleph \end{eqnarray*}$ durchlaufen alle Ordinalzahlen, und davon gibt es so viele, dass sie nicht mehr in eine Menge passen.
Z.b. ist $\begin{eqnarray*} \aleph_\omega \leq \left|\bigcup\limits_{n\in\mathbb N}~Pot_n(\mathbb N)\right| \end{eqnarray*}$ , wobei ich $\begin{eqnarray*} Pot_n(M) \end{eqnarray*}$ als die n-fache Potenzmenge von M definiere. Wenn du von der großen vereinigten Menge die Potenzmenge bildest, bekommst du (mindestens) $\begin{eqnarray*} \aleph_{\omega+1} \end{eqnarray*}$ . Der Spaß lässt sich fortsetzen.

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