Bestimmung Normalenvektor durch einen Punkt

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Flip_01 Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmung Normalenvektor durch einen Punkt
Hi,

hab ein Problem hinsichtlich Vektorrechnung.

Kann man denn einen Normalenvektor, der durch einen bestimmten Punkt auf einer Geraden gehen soll bestimmen?

Z.B. Bestimme die Gerade h durch den Mittelpunkt S einer Raute, die senkrecht durch S geht!

Mein Lösungsweg:
Mittelpunkt der Raute (Schwerpunkt) ist der Mittelpunkt einer der beiden Diagonalen.
Den Mittelpunkt kann ich leicht bestimmen. (Denke ich zumindest mal *g*)
So, die Gerade, die senkrecht durch den Mittelpunkt geht ist logischerweise ein Normalenvektor einer Diagonalen.

Wie kann ich nun einen Normalenvektor bestimmen, der durch den Mittelpunkt geht?

Vielen Dank schonmal für eure Mithilfe.
phi Auf diesen Beitrag antworten »

moin,

Ja, kann man. Neben dem Ortsvektor des Mittelpunkts brauchen wir noch einen Richtungsvektor, und den kann man durch die beiden Eckpunkte der Diagonalen bestimmen.

Hast du eine konkrete Raute mit konkreter Orientierung, oder eher abstrakt?

mfg, phi
Flip_01 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich zeig dir doch mal die Aufgabe:

Raute mit den Eckpunkten:
4 Punkte: A=(1,0,2), B=(2,2,5), C=(5,4,6), D=(4,2,3)



Diagonale: (Stimmt diese??)


Mittelpunkt:
Ist das so richtig?
Ist dann mein Mittelpunkt S=(2,2,2) ???

Unabhängig von der Richtigkeit:
Ich weiß nun eben nicht wie ich einen Normalenvektor durch S berechnen soll?
phi Auf diesen Beitrag antworten »

ist nicht der Mittelpunkt der Diagonale, dafür aber der gesuchte Richtungsvektor.

Im 3-d Raum gibt es allerdings unendlich viele Normale dazu, die du dir als Speichen eines um die Achse (4,4,4) senkrecht zur Achse angebrachten Wagenrades vorstellen kannst.

Wenn wir allerdings genau die Normale suchen die in der durch die Raute aufgespannten Ebene liegt, dann wäre es gerade die andere Diagonale der Raute.

Um den Mittelpunkt zu finden musst du den arithmetischen Mittelwert der Punkte a und c bestimmen, also (a+c)/2


Edit: Intressanter wäre es die Normale der Raute durch den Mittelpunkt zu bestimmen. Die stünde senkrecht auf beiden Diagonalen. Ist das vlt. die Aufgabe?

mfg, phi
Flip_01 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von phi
Edit: Intressanter wäre es die Normale der Raute durch den Mittelpunkt zu bestimmen. Die stünde senkrecht auf beiden Diagonalen. Ist das vlt. die Aufgabe?


Genau das ist die Aufgabe!

Und zu diesem suche ich einen möglichen Normalenvektor der noch dazu durch den Mittelpunkt der Raute gehen soll.

Also wäre der Mittelpunkt := S = (Punkt C + Punkt A) / 2 = (OA + OC)/ 2
Flip_01 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmung Normalenvektor durch einen Punkt
Edit: Bitte löschen.
 
 
phi Auf diesen Beitrag antworten »

yep, S = (Punkt C + Punkt A) / 2 = (OA + OC)/ 2 und das es stimmt sieht man auch daran dass (OA + OC)/ 2 =(OB + OD)/ 2 gilt.

Eine Normale im 3-d rechnet man am besten mit dem Vektorprodukt der zwei Richtungsvektoren der Diagonalen aus. ( So wie du den Richtungsvektor AC ausgerechet hast auch BD ..)

Das Kreuzprodukt (AC x BD) steht nähmlich immer senkrecht zu den beiden Vektoren aus dem es gebildet wird.
Flip_01 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann bin ich schonmal ein Stück weiter mit dem Mittelpunkt.

Aber wenn ich das Vektorprodukt der beiden Diagonalen bilde habe ich zwar eine Normale, jedoch noch nicht die gesuchte, oder?
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Mit dem Vektorprodukt hat man nur die Richtung, das stimmt. Aber den Mittelpunkt haben wir ja auch. Beides zusammen gibt eine Gradengleichung.

Soll die Normale noch auf Länge 1 normiert werden?
Flip_01 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, normieren muss ich ihn nicht.
Genau, der Normalenvektor ist ja nur in seiner Richtung festgelgt. Ich kann ihn ja nach belieben auf dem Richtungsvektor der Diagonalen "verschieben"

Wäre folgendes dann die Gerade senkrecht durch S?

Gerade:
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau.

Hast du schon die Werte?
Flip_01 Auf diesen Beitrag antworten »




Rechnung:
Mittelpunkt wie oben beschrieben
Diagonalen bestimmt
Vektorprodukt der beiden Diagonalen ergibt Normalenvektor
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Mittelpunkt hab ich auch. Beim Vektorprodukt hab ich aber raus.

(Oder wenn´s in die andere Richtung zeigt )


D-B=(2,0,-2)
Flip_01 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mich beim Vektorprodukt verrechnet.

Mittelpunkt S:


Diagonalen:




Vektorprodukt:


Ergebnis:
Dann ist meine gesuchte Gerade senkrecht durch den Mittelpunkt der Ebene (Raute)

phi Auf diesen Beitrag antworten »

Freude So stimmts. Wink
Flip_01 Auf diesen Beitrag antworten »

Prost
Prost

Eeeeeeeeeeendlich.

Oh je oh je. Vektorrechnung, da werden noch ein paar fragen kommen........
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Als her damit. Nach einer Weile wird´s ganz einfach.
Flip_01 Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, sind diese Überlegungen denn allgemeingültig?
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Was die Berechnung der Normalen im 3-d-Raum angeht ja. Manchmal geht´s auch mit dem Skalarprodukt, wenn man durch 0-setzen (=senkrecht) andere Unbekannte bestimmen kann.

Allgemein gilt bei solchen Aufgaben, je mehr Schritte zwischen der Frage und der Antwort liegen, desto mehr verschiedene Lösungswege gibt es.

Aber die Konstruktionen sind immer ähnlich. Aus gegebenen Punkten, Geraden, Ebenen, Kreise, etc. lassen sich Richtungen bestimmen, damit wieder andere Punkte, usw...
Flip_01 Auf diesen Beitrag antworten »

Hätte ich Beispielsweise auch so vorgehen können:

Skalarprodukt aus Normalenvektor n und Diagonale AC=m
Also: n*m=0

Dann hätte ich ja einen Normalenvektor erhalten, der auf der Diagonalen AC "irgendwo" liegt, bzw. auf deren Richtungsvektor m.

Und daraus dann die Geradengleichung durch den Mittelpunkt aufstellen können.

Wäre das auch möglich gewesen?
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Wir hätten ja sogar zwei Gleichungen:

ac*n=4n1+4n2+4n3=0
bd*n=2n1+0n2-2n2=0

Wenn man die 2. mal 2 nimmt und dann mit der ersten Gleichung addiert, bekommt man

n2=-2n1

Wenn es nur auf die Richtung (ohne Orientierung +/-) ankommt kann man dann einfach n1=1 setzen.

Gibt n2=-2, und in die 1.Gleichung eingesetzt gibt n3 =1, also

n=(1,-2,1) und das ist kolinear (das 8-Fache) mit (-8,16,-8).

Geht hier also auch.

In IR^2 macht man das für Normalen immer so : a1n1+a2n2=0 --> a1n1=-a2n2, n1=1 setzen ergibt n=(a1, -a2)
Flip_01 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen vielen Dank.

Werd mal schaun wie ich nun bei anderen Aufgaben weiter komme. Aber die nächsten Fragen werden so sicher sein, wie das Amen in der Kirche.
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