Erwartungswert einer geo. Verteilung

01.06.2008, 11:44

zwergnase

Erwartungswert einer geo. Verteilung

Der Erwartungswert einer geo. Verteilten Zufallsvariablen ist mit $\begin{eqnarray*} E(X) := \sum_{i=1}^\infty~i \cdot P(X=i) = \sum_{i=1}^\infty~i \cdot p \cdot (1-p)^{i-1} = ... = \frac{1}{p} \end{eqnarray*}$ . Nun haben wir in der Vorlesung einen Satz aufgeschrieben, dass man den Erwartungswert einer diskreten ZV auch mit $\begin{eqnarray*} E(X) := \sum_{i=1}^\infty~ P(X>i) \end{eqnarray*}$ berechnen kann. Ich möchte dies für eine geo. verteilte ZV nachrechen, es sollte ja dann auch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{p} \end{eqnarray*}$ herauskommen.

$\begin{eqnarray*} E(X) := \sum_{i=1}^\infty~ P(X>i) = \sum_{i=1}^\infty~ (1- P(X=i)) = 1 - \sum_{i=1}^\infty~ p(1-p)^{i-1} = 1- p( \sum_{i=0}^\infty~ (1-p)^{i-2}) = 1- \frac{1}{(1-p)^2} \sum_{i=0}^\infty~ (1-p)^i = 1 - \frac{1}{(1-p)^2} \cdot \frac{1}{p} \neq \frac{1}{p} \end{eqnarray*}$ Wo habe ich den einen Fehler gemacht?

01.06.2008, 11:53

therisen

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RE: Erwartungswert einer geo. Verteilung

Zitat:

Original von zwergnase
Nun haben wir in der Vorlesung einen Satz aufgeschrieben, dass man den Erwartungswert einer diskreten ZV auch mit $\begin{eqnarray*} E(X) := \sum_{i=1}^\infty~ P(X>i) \end{eqnarray*}$ berechnen kann.

Wieso schreibst du hier ":="? Müsste hier nicht $\begin{eqnarray*} P(X\geq i) \end{eqnarray*}$ stehen?

Zitat:

Original von zwergnase
$\begin{eqnarray*} E(X) := \sum_{i=1}^\infty~ P(X>i) = \sum_{i=1}^\infty~ (1- P(X=i)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X>i)=1-P(X\leq i) \end{eqnarray*}$

01.06.2008, 12:00

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Zitat:

Original von zwergnase
dass man den Erwartungswert einer diskreten ZV auch mit $\begin{eqnarray*} E(X) := \sum_{i=1}^\infty~ P(X>i) \end{eqnarray*}$ berechnen kann.

Das ist so formuliert nicht richtig:

Das trifft nur auf eine spezielle Klasse diskreter Zufallsgrößen zu - solche, die nur natürliche Zahlen als Werte annehmen können (mitunter als "Anzahlszufallsgrößen" bezeichnet).

Der Begriff diskrete Zufallsgröße ist viel weiter gefasst, z.B. klappt die obige Formel für die diskrete Zufallsgröße

$\begin{eqnarray*} P\left(X=\frac{1}{2}\right) = P\left(X=\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

nicht. Für die gilt $\begin{eqnarray*} E(X)=1 \end{eqnarray*}$ , nach obiger Formel käme der falsche Wert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ heraus.

Jetzt sehe ich erst: Auch für Anzahlzufallsgrößen ist die Formel falsch - sie muss da

$\begin{eqnarray*} E(X) = \sum_{i=1}^\infty~ P(X\geq i) \end{eqnarray*}$

lauten.

Zitat:

Original von zwergnase
$\begin{eqnarray*} E(X) := \sum_{i=1}^\infty~ P(X>i) = \sum_{i=1}^\infty~ (1- P(X=i)) \end{eqnarray*}$

Anscheinend verwendest du hier $\begin{eqnarray*} P(X>i) = 1-P(X=i) \end{eqnarray*}$ . Das ist natürlich falsch - wenn schon, dann

$\begin{eqnarray*} P(X>i) = 1-P(X\leq i) \end{eqnarray*}$ .

P.S.: therisen war etwas schneller, aber ich hab jetzt keine Lust mehr, die "doppelten" Erkenntnisse hier zu löschen. Augenzwinkern

01.06.2008, 12:38

zwergnase

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Berichtigung:

Also ich habe noch mal im Skript nach gesehen, da steht: $\begin{eqnarray*} W(X) = \mathbb N \Rightarrow E(X):= \sum_{k=1}^\infty~ P(X>i) \end{eqnarray*}$ , wahrscheinlich habe ich die Voraussetzung in der Vorlesung überhört, aber ":=" ist wohl ein Fehler vom Prof. Ist die Formel bis auf das":=" richtig?

Wenn $\begin{eqnarray*} P(X>i) = 1- P(X\leq i) \end{eqnarray*}$ ist, wie kann ich dann weiter rechnen? Kann man $\begin{eqnarray*} P(X\leq i) \end{eqnarray*}$ noch weiter umformen, damit ich die Dichte $\begin{eqnarray*} f_x(x) = P(X=i) = p(p-1)^{i-1} \end{eqnarray*}$ benützen kann?

01.06.2008, 12:54

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Also selbst mit korrigiertem Summationsindex ( $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ): Die Formel

$\begin{eqnarray*} E(X) = \sum_{i=1}^{\infty} P(X>i)\qquad (*) \end{eqnarray*}$

ist ganz einfach falsch, auch für $\begin{eqnarray*} W(X) = \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , das zeigen schon einfache Beispiele wie

$\begin{eqnarray*} P(X=1) = P(X=2) = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ mit richtigem Erwartungswert $\begin{eqnarray*} E(X) = \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ ...

---------------------------------------------------

Richtig im Fall $\begin{eqnarray*} W(X) = \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ sind sowohl

$\begin{eqnarray*} E(X) = \sum_{i=1}^{\infty} P(X\geq i) \end{eqnarray*}$

als auch

$\begin{eqnarray*} E(X) = \sum_{i=0}^{\infty} P(X>i) \end{eqnarray*}$ ,

egal. Aber (*) ist definitiv falsch.

01.06.2008, 13:17

therisen

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Vielleicht noch als Ergänzung zu Arthus Beitrag: Wenn du dich von der Richtigkeit der Formel überzeugen willst, solltest du besser kurz darüber nachdenken, anstatt ein Beispiel zu Rechnen. Bedenke, dass im Fall $\begin{eqnarray*} W(X) = \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} P(X\geq i)=\sum_{k=i}^{\infty} P(X=k) \end{eqnarray*}$

Wie oft kommt also jeder Summand $\begin{eqnarray*} P(X=i) \end{eqnarray*}$ in der Summe

$\begin{eqnarray*} E(X) = \sum_{i=1}^{\infty} P(X\geq i) \end{eqnarray*}$

vor?

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