Kurze Fragen zur Kreiszahl Pi

01.06.2008, 12:27

Q-fLaDeN

Kurze Fragen zur Kreiszahl Pi

Hallo liebe Mathefreunde,

ich hab nur ein paar ganz kurze, grundlegende Fragen zur Zahl $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$

1. $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ist ja transzendent und gibt das Verhältnis des Umfangs zum Durchmesser an. Also $\begin{eqnarray*} \pi = \frac{u}{d} \end{eqnarray*}$ . Ich dachte immer, man kann transzendente Zahlen nicht mit Hilfe eines Bruches darstellen, wieso ist das hier so?

2. Wenn ich $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ mit einer Zahl (aus dem Bereich der rationalen Zahlen) multipliziere, ist das Produkt dann auch transzendent? (Ich Vermute ja oder?)

3. Man berechnet ja Umfang, Volumen, Flächeninhalt usw. mit der Kreiszahl $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ . Wird dabei das jeweils berechnete Maß (also A, V, u usw.) auch transzendent? Also ist dann der Flächeninhalt eines jeden Kreises transzendent?

MfG

01.06.2008, 12:31

kiste

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Hallo,

ad 1) Man kann transzendente Zahlen nicht mit einem Bruch darstellen wenn der Zähler und Nenner ganze Zahlen sind. Das ist hier aber nicht gegeben(siehe Formeln für Umfang).

ad 2) Ja das liegt daran das die rationalen Zahlen einen sogenannten Körper haben. D.h. das die Multiplikation darin abgeschlossen ist, d.h. das Produkt einer rationalen Zahl mit einer anderen rationalen Zahl muss rational sein

ad 3) Nicht wenn z.B. der Radius transzendent ist. Wähle r=1/pi oder ähnliches, ansonsten siehe 2)

01.06.2008, 12:35

tigerbine

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Eigentlich schön, dass die Frage einmal kommt. So wird wieder einmal klar, dass es keine Zeitverschwendung ist bei Formeln mit Variablen anzugeben, aus welcher Menge sie stammen. So eben das Kleingedruckte bei den rationalen Zahlen, dass Zähler und Nenner aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ stammen.

01.06.2008, 12:40

Zizou66

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Zu 1:

Allerdings ist $\begin{eqnarray*} U=2\pi*r \end{eqnarray*}$ und daher ist der Bruch den du geschrieben hast nur Umgestellt. Man kann $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ damit nicht berechnen.

Zu 2:

Kann ich leider nichts sagen...kenne mich zu wenig aus.

Zu 3:

Hier kann ich sicher nein sagen, denn es gibt auf jeden Fall Kreise mit der Fläche 1, genau wie einen Kreis mit dem Umfang 1,2, usw. Ich kann nur nicht sicher sagen, ob das nur mit irrationalen Werten für $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ funktioniert, oder ob es auch rationale Werte geben kann. Ich habe allerdings die gleiche Vermutung wie du in 2.

Zizou66

Edit: Oh gott, viel zu lange gebraucht.... Augenzwinkern

01.06.2008, 12:51

Vieta

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Ich hab mal eine Frage zu 2)
Null ist doch auch ein Element der rationalen Zahlen, womit $\begin{eqnarray*} \pi\cdot 0=0 \end{eqnarray*}$ ist, was für mich nicht nach einer transzendenten Zahl aussieht...
Muss man da die null nicht ausschließen?
mfg

01.06.2008, 12:53

kiste

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Zitat:

Original von Vieta
Muss man da die null nicht ausschließen?

Ja... Das Argument geht offensichtlich nur für invertierbare rationale Zahlen

01.06.2008, 12:53

Zizou66

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Zitat:

Original von tigerbine
So eben das Kleingedruckte bei den rationalen Zahlen, dass Zähler und Nenner aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ stammen.

Hat Tigerbine doch gemacht Augenzwinkern

01.06.2008, 13:11

Q-fLaDeN

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Dankeschön, keine weiteren Fragen mehr smile

01.06.2008, 13:32

Airblader

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Zitat:

Original von kiste
ad 2) Ja das liegt daran das die rationalen Zahlen einen sogenannten Körper haben. D.h. das die Multiplikation darin abgeschlossen ist, d.h. das Produkt einer rationalen Zahl mit einer anderen rationalen Zahl muss rational sein

$\begin{eqnarray*} \pi \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ verwirrt

air

01.06.2008, 13:50

kiste

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Nein aber sei $\begin{eqnarray*} a,b\in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \pi\cdot a = b \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \pi = a^{-1}\cdot b \end{eqnarray*}$ was ein Widerspruch ist.

01.06.2008, 13:54

Airblader

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Edit:

Ah. Okay. Augenzwinkern

air

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