Wann ist ein Term mit zwei Unbekannten größer Null?

01.06.2008, 13:11

Martin84

Wann ist ein Term mit zwei Unbekannten größer Null?

Hallo,

ich möchte herausfinden, wann folgender Term mit zwei reellen Unbekannten a und b größer Null ist:

a^2 - 2a - 2b + 3 < 0

Meine Idee war, dass ich zunächst die Nullstellen berechne. Dafür benutze ich die pq-Formel und fasse (-2b + 3) als q auf. Dann gilt:

a^2 -2a + (-2b + 3) = 0 <=>
a_1|a_2 = 1 +/- sqrt(1+2b-3) = 1 +/- sqrt(2b-2)

Nun habe ich zwei (abstrakte) Nullstellen. Aber hilft mir das wirklich weiter? Was jetzt?

Viele Grüße
Martin

01.06.2008, 13:13

tmo

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Ich würde so umformen:

$\begin{eqnarray*} a^2-2a-2b+3=(a-1)^2+2(1-b) \end{eqnarray*}$

Z.b. kannst du jetzt direktablesen, für welche b der Term immer größer 0 ist, egal wie a gewählt wird.

01.06.2008, 13:19

Jacques

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Ansonsten kann man allgemein auch so vorgehen, dass man den Term in Linearfaktoren zerlegt.

Dann erhält man eine Ungleichung der Art

$\begin{eqnarray*} x \cdot y < 0 \end{eqnarray*}$

(wobei x und y die Linearfaktoren sind)

Die Ungleichung kann man dann so lösen:

$\begin{eqnarray*} x \cdot y < 0 \ \Longleftrightarrow\ (x < 0 \wedge y > 0) \vee (x > 0 \wedge y < 0) \end{eqnarray*}$

Aber in dem Fall ist das vielleicht eher überdimensioniert. Augenzwinkern

01.06.2008, 13:35

Martin84

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Ich Schussel muss leider noch etwas ergänzen, das ich sehr unklar formuliert habe.

Zu prüfen war eigentlich, für welche a und b die folgende Ungleichung erfüllt ist:
$\begin{eqnarray*} -(a^2) + 2a + 2b - 3 > 0 \end{eqnarray*}$

Ich habe sie wie folgt umgestellt:
$\begin{eqnarray*} a^2 - 2a - 2b + 3 < 0 \end{eqnarray*}$

Das heißt, ich muss mir jetzt überlegen, für welche a/b folgende Ungleichung erfüllt ist (danke an tmo für die Umformung!):

$\begin{eqnarray*} (a-1)^2+2(1-b) < 0 \end{eqnarray*}$

Die Lösung direkt ablesen kann man hier aber nicht, oder?

Ich könnte den Term nur noch weiter umformen:

$\begin{eqnarray*} (a-1)^2 < 2(b - 1) \end{eqnarray*}$

Kann man da irgendwas ablesen oder geschickt weiterrechnen? verwirrt

01.06.2008, 14:00

tmo

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Betrachte doch mal den Fall $\begin{eqnarray*} b \leq 1 \end{eqnarray*}$ . Dann sind beide Summanden nichtnegativ, also auch die Summe.

01.06.2008, 14:41

Martin84

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Jetzt hab ich endlich wieder was im Magen und das große Brett vorm Kopf ist verschwunden. Forum Kloppe

$\begin{eqnarray*} \forall b <= 1: (a-1)^2+2(1-b) >= 0 <=> \forall b > 1: (a-1)^2+2(1-b) < 0 \end{eqnarray*}$

Danke für die enorme Geduld, hatte irgendwie ein BlackOut.

Schönen Sonntag noch!

01.06.2008, 14:44

tmo

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Zitat:

Original von Martin84
$\begin{eqnarray*} \forall b > 1: (a-1)^2+2(1-b) < 0 \end{eqnarray*}$

Gegenbeispiel $\begin{eqnarray*} b = 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a = 5 \end{eqnarray*}$ .

Bringe doch einfach b mal alleine auf seine Seite um einen Bedingung für b > 1 anzugeben, bei der die Ungleichung erfüllt ist.

01.06.2008, 14:57

Martin84

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Hmm, wohl zu früh gefreut.

Also, ich kann die Ungleichung wie folgt umstellen:

$\begin{eqnarray*} (a-1)^2 < 2(b - 1) \end{eqnarray*}$ <=>
$\begin{eqnarray*} (a-1)^2 < 2b - 2 \end{eqnarray*}$ <=>
$\begin{eqnarray*} [(a-1)^2]/2 + 1 < b \end{eqnarray*}$

Das Problem ist, dass a immer noch in der Bedingung drin steht.

01.06.2008, 15:00

tmo

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Das wird sich nicht vermeiden lassen, denn zu jedem b kann man ein a finden, sodass die Ungleichung nicht erfüllt ist.

01.06.2008, 15:02

Martin84

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Aber wie kann man dann vorgehen, um eine Lösung zu finden?
Ich steh absolut auf dem Schlauch.

Das ist das erste Mal, dass ich eine Ungleichung mit zwei Unbekannten lösen muss.

01.06.2008, 15:06

tmo

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Wenn du eine Lösungsmenge angeben sollst:

$\begin{eqnarray*} L = \{ (a,b) \mid b > 1 + \frac{(a-1)^2}{2} \} \end{eqnarray*}$

Anschaulich ist das die Fläche über der Parabel $\begin{eqnarray*} y = \frac{(x-1)^2}{2}+1 \end{eqnarray*}$

01.06.2008, 15:10

Martin84

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Achso, na klar! Ich war irgendwie überzeugt davon, dass man die endgültige Lösungsmenge auf eine "konkretere" Weise darstellen muss. Aber Du hast ja gesagt, dass sich das wohl nicht vermeiden lassen wird.

Aber kannst Du mir zum Abschluss bitte noch verraten, wo der Fehler in folgender Äquivalenz liegt?

$\begin{eqnarray*} \forall b <= 1: (a-1)^2+2(1-b) >= 0 <=> \forall b > 1: (a-1)^2+2(1-b) < 0 \end{eqnarray*}$

01.06.2008, 15:14

tmo

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Die linke Aussage stimmt für alle a. Die rechte Aussage stimmt nur für a = 1.

Also können die beiden Aussagen nicht äquivalent sein. Ich weiß auch nicht wie du auf die Idee kommst, da einen Äquivalenzpfeil hinzumachen. Du wolltest vielleicht eine Art Fallunterscheidung durchführen.

01.06.2008, 15:16

Martin84

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Ok, vielen Dank, du warst sehr hilfsbereit!

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