Hintereinanderausführen von 2 Drehungen

01.06.2008, 14:40	Mehrunes	Auf diesen Beitrag antworten »
Hintereinanderausführen von 2 Drehungen Hi, ich hab ein Problem mit der folgenden Aufgabe Es seien in einem Koordinatensystem Z1(-1/0) und Z2(5/0) Zentren für Drehungen. a) Bestimmen Sie DZ1,50° o DZ2,90° . b) Bestimmen Sie DZ1,100° o DZ2,260°. Führen Sie die Verkettungen zunächst mit Hilfe von Achsenspiegelungen durch. Geben Sie die „Daten der Abbildung“ durch Ablesen von Koordinaten und Winkeln an. Wie kann man die Verkettungen einfacher konstruieren, wenn man die Verkettung von 2 Drehungen verwenden darf? Bitte um Lösungsvorschläge bzw. eine genauere Beschreibung was hier zu tun ist Vielen Dank LG Mehrunes
01.06.2008, 14:55	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Mache dir klar was es bedeutet, zwei Abbildungen zu kombinieren mit " $\begin{eqnarray} \circ \end{eqnarray}$ ": Die Schreibweise $\begin{eqnarray} (DZ_1,50°)\circ(DZ_2,90°) \end{eqnarray}$ bedeutet: "Führe zuerst $\begin{eqnarray} (DZ_2,90°) \end{eqnarray}$ aus und danach $\begin{eqnarray} (DZ_1,50°) \end{eqnarray}$ ".
01.06.2008, 15:25	Mehrunes	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hintereinanderausführen von 2 Drehungen $\begin{eqnarray} (DZ_1,50°)\circ(DZ_2,90°) \end{eqnarray}$ bei uns war ausgemacht, dass wir von links nach Rechts ausführen, also "Führe zuerst $\begin{eqnarray} (DZ_1,50°) \end{eqnarray}$ aus und danach $\begin{eqnarray} (DZ_2,90°) \end{eqnarray}$ ". trotzdem hilft mir das nicht direkt, denn wie führe ich eine Verkettung aus? Als erstes würde ich nun durch Z1 eine Gerade mit 50° und durch Z2 eine mit 90° ziehen, aber was nützt mir das dann?
01.06.2008, 17:50	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aufgabe ist stark vorlesungsbezogen. Was genau zu tun ist, erschließt sich nur dem, der auch in der Vorlesung sitzt. Und leider hast du nicht genügend Informationen darüber geliefert. Wie auch immer - ich könnte mir das Folgende denken. Verkettet man zwei Geradenspiegelungen an nicht-parallelen Geraden, so erhält man eine Drehung. Das Drehzentrum ist der Schnittpunkt der beiden Geraden. Der Drehwinkel ist doppelt so groß wie der Schnittwinkel der beiden Geraden. Man wird also versuchen, die Drehungen $\begin{eqnarray} D_1 = D(Z_1,50^{\circ}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} D_2 = D(Z_2,90^{\circ}) \end{eqnarray}$ als Produkt solcher Geradenspiegelungen darzustellen. Dafür gibt es unendlich viele Möglichkeiten. Im allgemeinen erhält man dann bei der Verkettung $\begin{eqnarray} D_1 \circ D_2 \end{eqnarray}$ ein Produkt aus vier Geradenspiegelungen. Man kann nun dafür sorgen, daß sich die Geradenspiegelungen in der Mitte gegenseitig aufheben, um die Faktorenzahl auf zwei zu reduzieren. Drehen wir also die $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Achse mit 25° im Uhrzeigersinn um $\begin{eqnarray} Z_1 \end{eqnarray}$ . Wir erhalten so die Gerade $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ , und $\begin{eqnarray} D_1 \end{eqnarray}$ ist das Produkt der Spiegelungen $\begin{eqnarray} S_g \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} S_x \end{eqnarray}$ an $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ bzw. der $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Achse. Wenn wir die Verkettung wie von euch vereinbart von links nach rechts lesen, heißt das $\begin{eqnarray} D_1 = S_g \circ S_x \end{eqnarray}$ Nun drehen wir die $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Achse mit 45° gegen den Uhrzeigersinn um $\begin{eqnarray} Z_2 \end{eqnarray}$ . Wir erhalten so die Gerade $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ , und es gilt entsprechend $\begin{eqnarray} D_2 = S_x \circ S_h \end{eqnarray}$ Insgesamt folgt: $\begin{eqnarray} D_1 \circ D_2 = S_g \circ S_x \circ S_x \circ S_h = S_g \circ S_h \end{eqnarray}$ Nach dem oben kursiv Gedruckten ist also das Produkt der Drehungen wieder eine Drehung. Und wie man Drehzentrum und Drehwinkel bekommt, steht dort auch. Eine Skizze ist hilfreich.

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