Exponentialfunktionen

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16.02.2006, 15:13	Nuradir	Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentialfunktionen Hey ich hab ma ne frage und zwar ist meine aufgabenstellung folgende: Berechnen sie das unbestimmte Integral von $\begin{eqnarray} \frac{e^{2x}}{(e^{2x}+1)²}dx \end{eqnarray}$ So und ich hab jetzt Substituiert mit z=2x....denn das übliche Substtituieren gemacht. meine letzte Zeile: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{e^z}{2(e^z)²+4e^z+1}~dz \end{eqnarray}$ So und irgendwie komm ich nicht weiter.....Könnt ihr mir helfen? Oder ma gucken ob ich irgendwo ein fehler gemacht habe? Danke schön!!!!
16.02.2006, 15:17	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
warum substituierst du nicht z=e^2x?
16.02.2006, 15:21	Nuradir	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann man das machen? Kann ja jetz noch ne 2. substitution machen.....oder? Und was amch ich danach? soll ich das was "unten"steht nach oben zeihn und denn ne produktintegration machen?
16.02.2006, 15:25	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
versuchs mal mit meiner substitution, so gehts in einem schritt, ansonsten müsstest du jetzt nochmal substituieren u=e^z
16.02.2006, 15:33	Nuradir	Auf diesen Beitrag antworten »
also denn hab ich raus: $\begin{eqnarray} - \frac{1}{2e^{2x}}+ \frac{e^{2x}}{2} +1 \end{eqnarray}$ Ist das richtig?
16.02.2006, 15:52	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
ich glaube nicht, poste mal deinen rechenweg
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16.02.2006, 17:15	PimpWizkid	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exponentialfunktionen Hiho! Ich würde erst einmal umformen... $\begin{eqnarray} \int \frac{e^{2x}}{(e^{2x}+1)²}dx =\frac{1}{2}\int 2e^{2x}\frac {1}{(e^{2x}+1)²}dx \end{eqnarray}$ Jetzt hast du vor dem Bruch im Integral die Ableitung aus der Klammer stehen. Halt stop, da war doch was mit Substitution: $\begin{eqnarray} z=e^{2x}+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \frac{1}{2}\int \frac {1}{z²}dz \end{eqnarray}$ Entweder weißt du die Stammfunktion von 1/z^2 oder du schaust bei irgendwelchen Grundintegralen nach... dann sollte es nicht mehr weit zum Ergebnis sein...
16.02.2006, 19:50	Nuradir	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Rechenweg ist folgener: ....(die aufgabe) z=e^(2x) z'= 2e^(2x)=dz/dx => dx=dz/2e^(2x) (so müssen wir das machen) Dann hab ich: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{z}{(z+1)²2z}~dz \end{eqnarray}$ Das z kürzt sich ja denn weg.... $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{1}{2z²+4z+2} ~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} - \frac{1}{2z} + 1+ \frac{1}{2} z \end{eqnarray*}$ Und denn halt die Resubstution!
16.02.2006, 21:32	PimpWizkid	Auf diesen Beitrag antworten »
An deiner Stelle würd ich nach dem Kürzen von z das $\begin{eqnarray} \frac {1}{2} \end{eqnarray}$ erst einmal vor's Integral schreiben: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \int \frac{1}{(z+1)^2} dz \end{eqnarray}$ Wenn du jetzt noch $\begin{eqnarray} (z+1)^2 \end{eqnarray}$ mit einer weiteren Substitution durch $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ ersetzt, erhälst du folgendendes Integral: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^2} du= \frac{1}{2}(-\frac{1}{u}) \end{eqnarray}$ Dann musst du noch zweimal resubistituieren, $\begin{eqnarray} u=z+1 \end{eqnarray}$ und dann noch $\begin{eqnarray} z=e^{2x} \end{eqnarray*}$ . Dadurch kommst du dann auf meine Form von oben, die, wie ich finde, schneller zur Lösung führt! Kannst es ja mal durchgehen! Ich hoffe dir ist damit geholfen! MfG PimpWizkid edit: Oh, die endgültige Lösung habe ich ja gar nicht hingeschrieben!Aber ich hoffe, du siehst auch so, dass dieser Weg der selbe wie oben ist...

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