gemeinsame Verteilungsfunktion bestimmen

01.06.2008, 17:22

tanzbär

gemeinsame Verteilungsfunktion bestimmen

Hi,

ich habe folgende gemeinsame Dichte der Zufallsvariablen X,Y gegeben:

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = \begin{cases} (0.25x + 0.20y + 1)^{-6} & \text{ falls } x,y \geq 0\\ 0 & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Ich soll die gemeinsame Verteilungsfunktion bestimmen. Dazu muss ich doch das folgende berechnen:

$\begin{eqnarray*} F_{X,Y} = P(X \leq a, Y \leq b) = \int_{- \infty}^a \int_{- \infty}^b (0.25x + 0.20y + 1)^{-6} dy dx \end{eqnarray*}$

Für die unteren Grenzen kann ich ja auch 0 einsetzen. Ich habe das mal mit Mathematica ausgerechnet - da kommt ja etwas ganz wildes heraus, und wir sollen alle Ergebnisse aber als rationale Zahlen angeben ...

Könnte mir dabei jemand helfen?

01.06.2008, 17:50

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Zitat:

Original von tanzbär
$\begin{eqnarray*} F_{X,Y} = P(X \leq a, Y \leq b) = \int_{- \infty}^a \int_{- \infty}^b (0.25x + 0.20y + 1)^{-6} dy dx \end{eqnarray*}$

Für die unteren Grenzen kann ich ja auch 0 einsetzen.

Die Formel ist so geschrieben falsch - wenngleich du versucht hast, das mit dem nachgeschobenen Satz verbal zu korrigieren. Besser, man schreibt es gleich richtig hin:

$\begin{eqnarray*} F_{X,Y}(a,b) &=& P(X \leq a, Y \leq b) = \int\limits_{- \infty}^a ~ \int\limits_{- \infty}^b ~ f(x,y) ~ \dd y ~ \dd x\\ &=& \begin{cases} \displaystyle \int\limits_0^a ~ \int\limits_0^b ~ (0.25x + 0.20y + 1)^{-6} ~ \dd y ~ \dd x & \quad\mbox{falls}\;a\geq 0 \,\wedge\,b\geq 0\\[5ex] 0 & \quad\mbox{sonst} \end{cases} . \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von tanzbär
Ich habe das mal mit Mathematica ausgerechnet - da kommt ja etwas ganz wildes heraus, und wir sollen alle Ergebnisse aber als rationale Zahlen angeben ...

Was heißt schon "rational", wenn noch die Parameter a und b drin sind...

Also mal konkret: Welches wilde Ergebnis hast du raus - vielleicht stimmt es ja!

01.06.2008, 18:05

tanzbär

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Ja, stimmt. Aber in Mathematica habe ich sie korrekt eingegeben. Mit "wild" meinte ich "Mathematica-wild". Ich habe die Ausgabe mal als Bild angehängt, weil die Latex-Ausgabe den horizontalen Rahmen sprengen würde. (Ich hoffe, das Bild ist sichtbar - in der Vorschau fehlt es nämlich)

01.06.2008, 18:11

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Tja, man muss mit Mathematica auch umgehen können. Mach mal ein paar venünftige Annahmen ("Assumptions") über die Parameter $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ - konkret: a>0,b>0 - dann wird das ganze auch viel freundlicher aussehen. Augenzwinkern

Oder rechne gleich von Hand, wie wir es früher tun mussten. (*)

P.S. (*): Keine Angst, ich fang jetzt nicht an vom Weltkrieg zu erzählen... Big Laugh

01.06.2008, 18:52

tanzbär

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Ich brauche Mathematica jetzt nocht soo oft Augenzwinkern

Aber was habe ich denn nun wieder falsch gemacht? Wenn ich folgendes eingebe:

$\begin{eqnarray*} \text{Assuming}\left[\{a>0,b>0,x\geq 0,y\geq 0\},\int_0^a \left(\int_0^b (0.25*x+0.20*y+1)^{-6} \, dy\right) \, dx\right] \end{eqnarray*}$

wird die Ausgabe ja vollkommen wirr. (Für die Randdichte und Randverteilungsfunktion funktioniert obige Eingabe hingegeben [vermeintlich?])

01.06.2008, 18:58

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Ich hab ehrlich gesagt nicht die geringste Lust, mich mit technischen Mathematica-Problemen rumzuärgern - vielleicht stellst du eine diesbezügliche Anfrage im passenden Unterforum hier...

Wie du es drehst und wendest, am Ende sollte

$\begin{eqnarray*} F_{X,Y}(a,b) = \begin{cases} 1 -(0.25a + 1)^{-4} - (0.20b + 1)^{-4} + (0.25a + 0.20b + 1)^{-4} & \quad\mbox{falls}\;a\geq 0 \,\wedge\,b\geq 0\\[5ex] 0 & \quad\mbox{sonst} \end{cases} . \end{eqnarray*}$

herauskommen - mal nur zur Überprüfung. Übrigens: Von Hand gerechnet, ist hier wirklich kein Problem, sind ja alles nur Potenzfunktionen, linear transformiert. smile

01.06.2008, 19:24

tanzbär

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Ok, dann rechne ich das auch per Hand aus.

Gruß,
tanzbär

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