f(0,0) unstetig?

01.06.2008, 17:37

DerMeister01

f(0,0) unstetig?

hi

habe eine frage zu einer aufgabe. haben gerade erst mit dem thema angefangen und hab nicht so recht ne ahnung wie ich darangehe.

$\begin{eqnarray*} f(x,y):=\frac{-x^2y}{x^4+2y^2} \end{eqnarray*}$ für x>0, 0 für $\begin{eqnarray*} x\leq0 \end{eqnarray*}$

warum ist die funktion im punkt (0,0) unstetig?

handelt es sich im überprüfung von stetiger ergänzung? hab das bis jetzt nur mit einer variablen gemacht...

danke schonma

01.06.2008, 18:09

Leopold

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Versuche, verschiedene Nullfolgen

$\begin{eqnarray*} (x_n,y_n) \to (0,0) \end{eqnarray*}$

zu finden, so daß die Grenzwerte von $\begin{eqnarray*} f(x_n,y_n) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ nicht übereinstimmen.

Ein erster Versuch: $\begin{eqnarray*} (x_n,y_n) = \left( - \frac{1}{n} \, , \, \frac{1}{n} \right) \end{eqnarray*}$

Nach Definition von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gilt dann $\begin{eqnarray*} f(x_n,y_n) = 0 \end{eqnarray*}$ , also auch $\begin{eqnarray*} f(x_n,y_n) \to 0 \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt mußt du eine zweite Nullfolge finden, bei der sich als Grenzwert von $\begin{eqnarray*} f(x_n,y_n) \end{eqnarray*}$ nicht Null ergibt.

P.S. Du solltest übrigens auch den Titel deines Threads ändern. Stetigkeit ist eine Eigenschaft, die Funktionen und nicht Funktionswerten zukommt. Das tut richtig weh!

01.06.2008, 18:41

DerMeister01

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versteh die vorgehensweise noch nicht so ganz...

01.06.2008, 18:50

system-agent

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Was heisst es denn für die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , an einer gewissen Stelle stetig zu sein? Was muss erfüllt sein? Siehe die Definition mittels Folgen.

01.06.2008, 19:47

DerMeister01

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naja der grenzwert an der stelle muss existieren, aber mittels folgen kp

01.06.2008, 19:52

system-agent

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Nach der Definition von "Stetigkeit" für eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an einem Punkt $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ , muss für jede Folge $\begin{eqnarray*} (x_n,y_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}(x_n,y_n)=(x,y) \end{eqnarray*}$ ebenfalls
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}f(x_n,y_n)=f(x,y) \end{eqnarray*}$ gelten.

Weil das für jede solche Folge gelten muss, reicht es, um die Unstetigkeit nachzuweisen, eine zu finden, für die es nicht geht.

02.06.2008, 14:35

DerMeister01

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sry, aber ich hab immernoch keine ahnung was ich nu mit der formel machen soll, denn in zusammenhang mit folgen haben wir das noch gar nicht gebracht

02.06.2008, 14:45

klarsoweit

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Dann sag doch mal, wie ihr die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt (x_p, y_p) definiert habt.

02.06.2008, 20:06

PimpWizkid

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Sorry, das ich einfach so "reinplatze"

Aber welche Folge könnte man denn finden, sodass

$\begin{eqnarray*} \frac{xy^3}{x^2+y^6} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ nicht stetig ist?

02.06.2008, 20:09

system-agent

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Zum Beispiel
$\begin{eqnarray*} (x_n,y_n)=(\frac{1}{\sqrt{n}},\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$

02.06.2008, 20:14

Dual Space

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Zitat:

Original von PimpWizkid
Sorry, das ich einfach so "reinplatze"

Aber welche Folge könnte man denn finden, sodass

$\begin{eqnarray*} \frac{xy^3}{x^2+y^6} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ nicht stetig ist?

Das kann jetzt nicht dein Ernst sein. böse

Warum diskutierst du das nicht in dem Thread wo die Frage herkommt? Satt dessen mischt du dich in einen fremden Thread .... unglücklich

02.06.2008, 20:20

system-agent

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Das ist ja nicht mal die selbe Funktion....in dem Fall gehts mit meiner Folge wohl auch nicht, denn die war für die Funktion des Threadstellers gedacht.

02.06.2008, 20:22

Dual Space

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Zitat:

Original von system-agent
Das ist ja nicht mal die selbe Funktion....

Nicht nur das ... die Funktion von PimpWizkid ist in 0 nicht mal definiert - ich frag mich, wie man dort über Stetigkeit reden will. unglücklich

02.06.2008, 20:34

PimpWizkid

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Sorry für meinen Ausrutscher! Soll nicht wieder vorkommen!

02.06.2008, 22:22

DerMeister01