stetigkeit, glm. Konvergenz (in Diskussion mit mir)

16.02.2006, 18:00

someone

stetigkeit, glm. Konvergenz (in Diskussion mit mir)

Ich diskutiere mit mir selbst, werde mir aber nicht sicher in meinen Argumenten.

Die Aufgabe lautet:
Ist die Funktion f:IR->IR, $\begin{eqnarray*} x \rightarrow \lim \limits_{n\to\infty} f_{n}(x) \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} f_{n}:IR->IR \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{n}: x \rightarrow (1-|x|)^{n} \end{eqnarray*}$ für|x|<1
$\begin{eqnarray*} x \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ für |x|=0
stetig

Geben Sie die Definition der gleichmäßigen Konvregenz an und beantworten Sie mit Begründung die Frage:
Konvergiert f_n gleichmäßig

Meine aktuelle Meinung ist das die Funktion f stetig ist, da ich mich in der Aufgabe nur in dem Intervall [0,1] bewege und ich ein passendes Epsilon und Deltapaar bei 0 finden müsste. Zögern tue ich jedoch bei extrem großen Grenzwertfunktionen, da wird das Epsilon irgendwann 1 und trotzdem müsste ich doch noch ein passendes Delta finden, welches elendig klein sein wird.

Dann habe ich als Definition von mir gefunden:
Eine Menge von Funktionen f_n die auf eine Funktion konvergiert in einem Intervall [a,b] heißt gleichmässig konvergent falls
$\begin{eqnarray*} \sup \limits_{x\in[a,b]} |f_{n}(x) -f(x)| \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$
Hier würde mich interessieren ob genau diese Definition richtig ist und wo in der Definition Fehler sind. (ich muß die noch mal verteidigen).
Was ich sehe ist das ich die Grenzwertfunktion nicht mit f bezeichnet habe. Sonst müsste sie nach meinem Verständnis stimmen.

Und ob f_n gleichmässig konvergiert würde ich mit ja beantworten, weil sich alle Folgen von oben an die Grenzwertfolge f anschmiegen, zumindest in diesem Intervall. Aber ein bessere Argumentation habe ich momentan auch nicht. Vielleicht in anderne Worten, ich kann einen Epsilonschlauch um die Funktion legen, der immer kleiner wird, da f_n gegen Null konvergiert.

Ich werde bald los müssen, werde aber immer wieder mal reinlesen.

16.02.2006, 20:36

Mathespezialschüler

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Hallo!

Zitat:

Original von someone
Meine aktuelle Meinung ist das die Funktion f stetig ist, da ich mich in der Aufgabe nur in dem Intervall [0,1] bewege und ich ein passendes Epsilon und Deltapaar bei 0 finden müsste. Zögern tue ich jedoch bei extrem großen Grenzwertfunktionen, da wird das Epsilon irgendwann 1 und trotzdem müsste ich doch noch ein passendes Delta finden, welches elendig klein sein wird.

Geht das bitte nochmal etwas geordneter? Warum rechnest du $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht erstmal aus? Dann siehst du sofort die Antwort auf die Stetigkeitsfrage.

Zitat:

Original von someone
Dann habe ich als Definition von mir gefunden:
Eine Menge von Funktionen f_n die auf eine Funktion konvergiert in einem Intervall [a,b] heißt gleichmässig konvergent falls
$\begin{eqnarray*} \sup \limits_{x\in[a,b]} |f_{n}(x) -f(x)| \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$

Eine Definition kann nicht falsch sein. Aber auf jeden Fall ist das die gängige Definition für gleichmäßige Konvergenz (d.h.: kein Fehler).

Zitat:

Original von someone
Und ob f_n gleichmässig konvergiert würde ich mit ja beantworten, weil sich alle Folgen von oben an die Grenzwertfolge f anschmiegen, zumindest in diesem Intervall. Aber ein bessere Argumentation habe ich momentan auch nicht. Vielleicht in anderne Worten, ich kann einen Epsilonschlauch um die Funktion legen, der immer kleiner wird, da f_n gegen Null konvergiert.

Nein, die Argumentation ist nicht korrekt. Nur weil $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ punktweise gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ konvergiert, muss das noch nicht gleichmäßig sein. Würde ich diese Argumentation übernehmen, dann käme ich darauf, dass alle punktweise konvergenten Funktionenfolgen auch gleichmäßig konvergieren und das stimmt ja bekannterweise nicht.

Gruß MSS

17.02.2006, 00:57

someone

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Das mit dem rechnen ist bei mir so eine Sache, gerne weiß ich erst einmal das ich auf dem richtigen Weg und dann scheue ich mich immer noch davor.
Ich werde es aber versuchen. Werde die Tage wo ich jetzt unterwegs bin damit schwanger gehen.

Danke für die Antwort zu der Definition. Hast du dafür eine Quelle, weil ich keine mehr finden kann und meine Definitionen alle nur ähnlich sind. Wikipedia passt bisher wenn am besten.

Das die Funktionenfolge punktweise konvergent ist wollte ich mit meiner Aussage nicht machen, meinem Verständnis nach bedeutet es das alle Funktionen der Folge konvergieren.
Was ich sagen wollte ist das sich alle Funktionen f_n aller einer Funktion f annähern, das wäre mein Verständnis von glm. konvergenz. Da die Differenz zwischen Folge und Grenzwertfolge immer kleiner wird. Also die Funktionen alle in eine Art Trichter reinlaufen.

Ich bin weiter am denken, muß jetzt aber ins Bett und bin morgen viel unterwegs, werde also weiter lesen.

18.02.2006, 21:32

someone

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sehe ich das richtig?
Stetigkeit:
betrachtet man den Punkt x nahe Null für f_n geht f_n(x) gegen 1, für den Punkt x=0 wird x jedoch auf Null abgebildet, also ist die Funktion nicht stetig.

Ich glaube ich gebe die Aufgabe auf und konzentriere mich wieder auf einfacheres.
Danke fürs lesen und die Hilfe bisher.

18.02.2006, 21:42

Mathespezialschüler

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Nein, $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ geht gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0<|x|<1 \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (-1,1) \end{eqnarray*}$ . Aber steht da wirklich $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ ? Denn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist so eigentlich nicht wirklich definiert.

Gruß MSS

18.02.2006, 22:28

someone

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Zitat:

Aber steht da wirklich $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ ? Denn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist so eigentlich nicht wirklich definiert.

Ja, steht so in der Aufgabe für beide Funktionen. Wieso ist das nicht wirklich definiert? Weil |x| nur bis |x|<1 und nicht mehr darüber definiert ist?

Rechne ich falsch?
Wenn ich das x in (1-|x|) gegen Null laufen lasse, kommt 1 raus. Betrachte ich dann die hochlaufenden Exponenten für f_n wird doch immer 1 raus kommen.
Was ist mit f(x)=0 gemeint? Der Schnittpunkt der x-Achse von der Kurve? Dann wäre das bei mir bei f(1)=0 also (1,0).

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