Abzählbarkeit der algebraischen Zahlen |
| 16.02.2006, 18:55 | Mattes_01 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Abzählbarkeit der algebraischen Zahlen Kann einer evtl einen Link posten, wo gezeigt wird, dass alle algebraischen Zahlen abzählbar sind? Habe da so mine Probs und Zweifel 
Gruss |
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| 16.02.2006, 19:48 | papahuhn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Abzählbarkeit der algebraischen Zahlen
Koeffizienten rational, also abzählbar. Eine solches Polynom muss man hinschreiben können, also ist die Menge all solcher Polynome echte Teilmenge der Menge aller Wörter über einem abzählbaren Alphabet, und die ist auch abzählbar. Edit: Das Alphabet ist ja sogar endlich... |
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| 16.02.2006, 19:59 | Mattes_01 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das issn gutes Beispiel! THX |
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| 17.02.2006, 00:50 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Abzählbarkeit der algebraischen Zahlen
wieso das? dein Alphabet wäre hier Q!? deine WÖRTER sind je endlich...... übrigens ist die Frage schlampig gestellt: algebraische Elemente werden nicht nur über Q betrachtet und überhaupt braucht man da Situattion: Körper, Teilkörper dann kann man die algebraischen Elemente betrachten, die im Körper liegen und Nullstellen von Polynomen im Teilkörperpolynomring sind. ist der Teilkörper schon überabzählbar, funktioniert dieser Beweis eindeutig nicht mehr...... z.b. die Menge aller algebraischen Elemente von C über Polynomen in IR, das ist ganz C..... |
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| 17.02.2006, 01:07 | papahuhn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Abzählbarkeit der algebraischen Zahlen Ich habe mich auf die Wikipedia-Definition bezogen. Zuerst habe ich auch an ein Alphabet gedacht, das Q beinhaltet. Aber das ist ja gar nicht nötig, rationale Zahlen kann man mit Ziffern und einem Bruchstrich darstellen, also wird das Alphabet sogar endlich. |
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| 17.02.2006, 02:24 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hmmm, dann haben wir unterschiedliche ansichten der wörter für mich ist jeder koeffizient eines polynoms ein buchstabe, ist n der höchste grad, so hat unser wort n buchstaben, "a0""a1"..."an", wenn das je die koeffizienten sind und dann bräuchte man schon ganz Q als Alphabet...... egal 
aber kurzum als Nachtrag Q abzählbar => Menge aller endlichen Teilmengen von Q abzählbar => Menge aller Polynome abzählbar (Polynom entspricht geordneter Menge mit evtl. Duplikaten, die das ganze aber nicht überabzählbar machen können; nennen wir es lieber endliche geordnete Tupel, die Menge derer ist natürlich auch abzählbar) => Nullstellenmenge abzählbar, da jedes Pol. nur endl. viele NST hat so ungefähr würde ich argumentieren..... |
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| 17.02.2006, 07:21 | Mattes_01 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke euch, aber wieso ist die Frage schlampig gestellt? Also bei uns steht das genau so als Übungsaufgabe(mehr oder weniger Wortlaut). Jetzt ist natürlich die Frage, was du unter den algebraischen Zahlen verstehst, für mich sind das alle Zahlen, die als Nullstellen einer Polynoms mit rationalen Koeffizienten in Frage kommen. also ein e, Pi usw... Aber der Beweis über die Teilmengen müsste gehen. Thx |
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| 17.02.2006, 09:29 | Anirahtak | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Mattes_01, e und Pi überhaupt nicht algebraisch, sondern transzendent! Vielleicht liegt an diesem Irrglauben dein Zweifel an der Aufgabenstellung... Schau hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Transzendente_Zahl Gruß Anirahtak |
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| 17.02.2006, 12:00 | papahuhn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie gesagt, die Überlegung hatte ich ursprünglich auch und so habe ich sie auch formuliert. Aber im Grunde braucht bzw. kann man zeigen, dass es eine injektive Abbildung von der Menge der algebraischen Zahlen in die Menge der Wörter über einem endlichen Alphabet gibt. Zu jeder algebraischen Zahl gibt es ein Polynom mit rat. Koeff. und der Zahl als Nullstelle. Ein solches Polynom kannst du doch mit Bleistift niederschreiben. Auf dem Rechner reichen die Zeichen die LaTeX nötig hat. Damit die Abbildung eindeutig ist, nimmt man das normierte Minimalpolynom mit der Eigenschaft, und das wars. Edit: Mir fällt gerade auf, dass das immer noch nicht eindeutig wäre, da mehrere algebraische Zahlen dem gleichen Polynom zugeordnet werden können. Das ist aber nicht weiter schlimm, denn ein Polynom ungleich dem Nullpolynom kann höchstens endlich viele Nullstellen besitzen. Und die kann man auch noch irgendwie reincodieren; z.B. Polynom#Trennzeichen#EindeutigeNummer. |
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