Innenwinkel im Dodekaeder

Neue Frage »

Soap Auf diesen Beitrag antworten »
Innenwinkel im Dodekaeder
Wie groß ist der Winkel zwischen 2 benachbarten Flächen im Dodekaeder? Mit Google finde ich alles mögliche über Dodekaeder, aber nichts über den Winkel zwischen den Flächen. Hilfe
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ein möglicher Ansatz: Betrachte einen Eckpunkt des Dodekaeder, und von dem die drei ausgehenden Kanten mit den zugehörigen End-Eckpunkten :

Dann ist ein Tetraeder mit gleichseitiger Grundfläche und drei kongruenten gleichschenkligen Seitenflächen , und . Alle Kanten lassen sich ausrechnen (, und sind Fünfeckdiagonalen der originalen Dodekaeder-Seitenflächen), damit kriegt man dann den Winkel zwischen den Seitenflächen und heraus. Und der ist identisch mit dem gesuchten Winkel. Für diese Winkelberechnung gibt es mehrere Möglichkeiten, entweder "elementar-trigonometrisch", oder analytisch (Vektorrechnung etc.).
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe, daß Arthur bereits geantwortet hat, während ich diese Zeilen aufschrieb. Hier ein gerader, aber etwas einfallsloser Weg mit Methoden der Analytischen Geometrie.

Drei im Raum symmetrisch ineinander gesteckte Rechtecke, deren Seiten das Verhältnis des Goldenen Schnitts haben, bilden ein reguläres Ikosaeder (linkes Bild). Bei Kantenlänge 4 haben die Ecken des Ikosaeders die Koordinaten







mit jeweils allen Vorzeichenkombinationen. Das Ikosaeder hat 20 gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen. Deren Mittelpunkte sind die Ecken eines regulären Dodekaeders. Beim gleichseitigen Dreieck ist der Mittelpunkt aber zugleich Schwerpunkt. Durch die Berechnung dieser Schwerpunkte kannst du daher die Ecken des Dodekaeders bestimmen. Mit den Ecken des Dodekaeders findet man Richtungsvektoren für die Seitenflächen und kann daraus Normalenvektoren (Kreuzprodukt) berechnen. Und aus den Normalenvektoren leitet man in bekannter Weise den Schnittwinkel der Ebenen ab. Beachte, daß hier der stumpfe Winkel gesucht ist.

Der hier vorgeschlagene Weg ist nicht besonders einfallsreich, führt aber mit Sicherheit zum Ziel. Elegantere Wege müssen sich elementargeometrische Beziehungen zunutze machen, brauchen allerdings auch hinreichend räumliches Vorstellungsvermögen und eine zündende Idee.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bevorzuge den elementaren Weg (Bezeichnungen s.o.):

Betrachten wir den gemeinsamen Lotfußpunkt von auf im Dreieck bzw. auf im Dreieck , dann gilt

.

Das Dreieck steht nun senkrecht auf und somit auch auf den Ebenen durch und . Also ist unser gesuchter Winkel im gleichschenkligen Dreieck , und für den gilt wegen schließlich

Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Dann schulde ich noch die analytische Lösung.


Ortsvektoren der Eckpunkte:




Schwerpunktvektoren:

Bei der Schwerpunktberechnung verzichte ich auf den Faktor (das Dodekaeder ist also zum Ikosaeder mit dem Faktor 3 gestreckt).



ist der an der -Ebene gespiegelte Vektor .


Normalenvektoren:



Der zweite Vektor entsteht durch zyklische Vertauschung der Koordinaten des ersten um 1 Koordinate nach vorne. Die Zeichnung des Links aus meinem vorigen Beitrag zeigt, warum man das tun darf.



Winkel zwischen den Dodekaederflächen (das Minuszeichen setze ich, damit ein stumpfer Winkel herauskommt):

AD Auf diesen Beitrag antworten »

Muss ich glatt mal kontrollieren, ob ich da dasselbe raushab:



Da bin ich ja beruhigt. Augenzwinkern
 
 
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »