integrale

17.02.2006, 17:23

kingskid

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integrale

könnt ihr mir bitte bei folgenden integralen helfen?

1.)
$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{t}~\frac{1}{\sqrt{x²-1}}~dx \end{eqnarray*}$

hab versucht die wurzel zu substituieren, aber das funktioniert leider nicht traurig

traurig

2.) $\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{x}{\sqrt{1+x^4}}~dx \end{eqnarray*}$

hab das so über substitution gelöst, bin mir aber nicht sicher ob das stimmt, da ich auf nem andren weg ein anderes ergebnis bekomm...?!?
weg a)
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{4} \int_{}^{}~\frac{4x}{\sqrt{1+x^4} } ~dx \end{eqnarray*}$
subst.:
$\begin{eqnarray*} f(y) = \frac{1}{\sqrt{y} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y= g(x) = 1+x^4 \end{eqnarray*}$
g'(x) =4x
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \int_{}^{}~\frac{1}{\sqrt{y} } ~dy =\frac{1}{2} \sqrt{y}= \frac{1}{2}\sqrt{1+x^4} \end{eqnarray*}$

und auf weg b)

subst.: y=x²
dy = 2x dx
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int_{}^{}~\frac{1}{\sqrt{1+y²}}~dy= \frac{1}{2} arsinh(y) = \frac{1}{2} arsinh (x²) \end{eqnarray*}$

oder hat sich da irgendwo ein fehler eingeschlichen??

17.02.2006, 17:28

JochenX

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nutze die 1 der hyperbolicusfunktionen
cosh^2-sinh^2=1 sollte dir eine geeignete substitution aufzeigen...

zur substitutionsaufgabe: beachtest du auch, dass du auch das "dx" noch entsprechend ersetzen musst?
y=.....x => dy/dx = y'=..... und dann nach dx auflösen und einsetzen

17.02.2006, 17:37

kingskid

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danke für den tip mit hyperbolicus, muss mir das noch überlegen, ob ich das seh... und bei der 2 hab ich doch das dx beides mal entsprechend ersetzt... ??

17.02.2006, 18:43

JochenX

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RE: integrale

Zitat:

Original von kingskid
$\begin{eqnarray*} y= g(x) = 1+x^4 \end{eqnarray*}$
g'(x) =4x

hehe ich hatte da was anderes erwartet und deswegen gedacht, du hättest das gar nicht gemacht, du hast es aber einfach falsch gemacht

ich hätte besser hingucken und du besser ableiten sollen!
(x^4)'=?

wenn ich mich nicht verguckt habe, dann sieht b) aber gut aus

17.02.2006, 23:36

kingskid

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ohja.. danke für deine korrektur!!! ableiten sollte man können...

dann nehm ich lieber b) Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.02.2006, 00:11

kingskid

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aber das mit dem sinh2 und cosh2 versteh ich nicht, wie funktioniert das mit dem substituieren?
soll ich für die 1 cosh2-sinh2 einsetzen...?? damit komm ich nicht weiter...

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18.02.2006, 00:35

JochenX

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Zitat:

Original von LOED
cosh^2-sinh^2=1

umstellen: cosh^2-1=sinh^2

nun substituiere x=cosh(u)
dx/du=sinh(u), die ableitung der cosh-funktion

jetzt schaffst dus aber smile

smile

18.02.2006, 00:36

mYthos

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Du kannst ausnützen, dass

$\begin{eqnarray*} sinh^2(z) = cosh^2(z) - 1 \end{eqnarray*}$

somit substituierst du

$\begin{eqnarray*} x = cosh(z) \end{eqnarray*}$ ; hiermit ist $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dz} = sinh(z) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} dx = dz \cdot sinh(z) \end{eqnarray*}$

...

die Wurzel löst sich nun auf, das Ergebnis sollte sein: $\begin{eqnarray*} z + C \end{eqnarray*}$ , bzw. $\begin{eqnarray*} arcosh(x) + C \end{eqnarray*}$ = ...

Gr
mYthos

18.02.2006, 10:38

kingskid

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gaaanz vielen dank, das ist ja faszinierend smile

smile

wenn ich jetzt meine integralgrenzen einsetzen möchte dann bekomm ich ja folgendes:

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{t}~\frac{1}{\sqrt{x²-1} } ~dx = [arcosh(x)]_{1}^t = arcosh(t)-arcosh(1)=arcosh(t) \end{eqnarray*}$

aber was passiert nun wenn ich den grenzwert t gegen unendlich bilde?
dann läft arcosh auch langsam gegen unendlich oder?
bedeutet das dann dass dieses integral nicht konvergiert?

18.02.2006, 11:00

kingskid

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hab nochmal so ein integral, fast das gleiche:
bin mit hilfe der substitution wie beim andren soweit gekommen:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{1}{x\sqrt{x²-1} } ~dx = \int_{}^{}~\frac{sinh(u)}{cosh(u)\sqrt{cosh²(u)-1} }~du =\int_{}^{}~\frac{sinh(u)}{cosh(u)sinh(u)}~du= \int_{}^{}~\frac{1}{cosh(u)}~du \end{eqnarray*}$

nur was gibt das letzte integral??

18.02.2006, 13:10

JochenX

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Zitat:

Original von kingskid
aber was passiert nun wenn ich den grenzwert t gegen unendlich bilde?
dann läft arcosh auch langsam gegen unendlich oder?

ich glaub eher, dann hast du ein Problem, denn der kosinus nimmt nur werte zwischen -1 und 1 an.......
edit: aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaah, natürlich, danke lego Wink

Wink

über dein anderes Integral muss ich erst mal nachdenken....

18.02.2006, 13:39

lego

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LOED es geht um den Cosinus hyperbolikus, nicht um den normalen Cos

das letzte integral ist mir auch noch nicht klar, ich denke umschreiben des cosh zu $\begin{eqnarray*} \frac{e^x+e^{-x}}{2} \end{eqnarray*}$ hilft auch nicht oder?

18.02.2006, 14:02

kingskid

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hmm, ich hab mir mal das schaubild von arcosh angeschaut,deshalb dacht ich es muss gegen unendlich gehen...
aber wenn ich keinen grenzwert herausbekomm, dann sagt man doch das integral konvergiert nicht, oder??
(http://www.gnoerich.de/formelsammlung/IMG00193.gif)

zu dem letzten integral:
... wenn ich das so umschreib bekomm ich ja
$\begin{eqnarray*} 2\int_{}^{}~\frac{1}{e^u + e^(-u) } ~du \end{eqnarray*}$

---> soll e hoch (-u) heißen, sorry

...aber das kann ich leider auch nicht integrieren traurig

traurig

18.02.2006, 14:06

papahuhn

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Erweitere mit $\begin{eqnarray*} e^u \end{eqnarray*}$ und substituiere das durch eine weitere Variable. Das Integral das du dann herausbekommst, kannst du nachschlagen.

18.02.2006, 14:07

JochenX

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latex-Hinweis:
e^{-u} <-- geschweifte Klammern helfen, wenn deine Potenzen, Tiefstellungen (...) länger als ein Zeichen sind

18.02.2006, 15:56

kingskid

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danke für die tipps... hab das aber noch nicht ganz raus_

mit e^x erweitert:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\frac{e^u}{e^{2u}+1}~du \end{eqnarray*}$

dann krieg ich das aber mit der substitution nicht hin.
wenn ich e^u = z setze, dann bekomm ich ja

$\begin{eqnarray*} du = \frac{1} { e^u} dz \end{eqnarray*}$ und das hilft mir ja nicht weiter...

du meinst doch bestimmt das ich irgendwie auf dieses integral kommen soll:
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~ \frac{1}{x²+1} ~dx = arctan (x)+c \end{eqnarray*}$

oder??

19.02.2006, 00:23

lego

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ja wo ist denn das problem, wenn du das du durch dz ersetzt, kürzt sich das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e^u} \end{eqnarray*}$ mit dem $\begin{eqnarray*} e^u \end{eqnarray*}$ vom zähler weg und fertig

19.02.2006, 12:44

kingskid

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achso... das is schlau, Thx 4 help. hatte das e^u im zähler auch durch z substituiert, dann konnte sich das ja nicht wegkürzen...

müsste dann so stimmen, oder?

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{1}~ \frac{1}{z²+y} ~dz = arctan z + c = arctan (e^u) +c = arctan( e ^{arcosh(x)}) + c \end{eqnarray*}$

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