Frage zum Skalarprodukt

17.02.2006, 18:20

Mattes_01

Frage zum Skalarprodukt

Hallo zusammen!

Ich habe nur kurz eine Frage zum Skalarprodukt:

$\begin{eqnarray*} <Ax,x>= z \end{eqnarray*}$ wobei A $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R / \mathbb C \end{eqnarray*}$

EDIT: Sorry für unklarheiten^^
die Mengen sind etweder R oder C, das ist egal, so wie ich das verstehe, x ist ein Vektor in dem Vektorraum.

Ist dann z immer reell??

Wenn ja wieso?

Danke udn Gruss Mattes

17.02.2006, 18:45

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

IR/C, soll IR\C sein oder? "\" ohne.....
ist A ein reeller Wert? oder doch ene Matrix?

woher kommt x? was ist x?

17.02.2006, 22:58

quarague

Auf diesen Beitrag antworten »

sei V ein Vektorraum über einem Körper K (zB die die reellen oder komplexen Zahlen) dann ist ein Skalarprodukt auf diesem Vektorraum eine Abbildung von V x V nach K, (mit ein paar schönen Eigenschaften) das heisst du muss immer 2 Vektoren 'reinstecken' und bekommst einen Wert in dem Körpre zurück.
x ist ein Vektor, A eine relle oder komplexe Matrix, oder eine relle oder komplexe Zahl (ein Skalar) dann ist Ax auch ein Vektor und das Skalarprodukt der beiden ist eine reelle oder komplexe Zahl

18.02.2006, 07:13

Mattes_01

Auf diesen Beitrag antworten »

also bedeutet das, dass z hier auch komplex sein kann oder wie?

18.02.2006, 14:16

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Frage zum Skalarprodukt
Hallo Mattes,

deine Frage kann nur beantwortet werden, wenn du uns sagst, was genau A sein soll. Wenn das A eine reelle oder komplexe Zahl ist, gilt folgendes:

$\begin{eqnarray*} z = <A*x, x> = A~ * <x, x> = A * ||x||^2 \end{eqnarray*}$ .

Dies folgt aus der Linearität des Skalarproduktes bzgl. der ersten Komponente. Wenn A eine Matrix sein soll, geht es so natürlich nicht, sondern hängt erstmal von den Eigenschaften dieser Matrix ab.

Grüße Abakus smile

23.02.2006, 16:23

Mattes_01

Auf diesen Beitrag antworten »

Habe die Klausur zwar hinter mir aber:

A ist eine Matrix entweder im reellen oder im Komplexen, x sind Vektoren, und z ist dann logischerweise eine Zahl.

Was ich nur wissen wollte, ob es dann immer so ist, dass z reell ist, egal ob A komplex ist, udn wenn ja wieso?!?

Gruss Mattes

23.02.2006, 17:35

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ist dann z immer reell??

Nein z darf dann auch komplex es gilt aber:

Sei $\begin{eqnarray*} z = <Ax,x> \end{eqnarray*}$ und z reell für alle x, dann ist A selbstadjungiert.

Folgendes Beispiel:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}, x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann ist

$\begin{eqnarray*} <Ax,x> = <\begin{pmatrix} i \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}> = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} i \\ 0 \end{pmatrix} = i \end{eqnarray*}$

Wenn Du das Standartskalarprodukt $\begin{eqnarray*} <x,y> = y^Hx \end{eqnarray*}$ betrachtest.

Neue Frage »

Antworten »

Frage zum Skalarprodukt

Verwandte Themen