Konvergenz geometrischer Reihen

Neue Frage »

deBozz Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz geometrischer Reihen
Hallo!
Ich beschäftige mich gerade mit der Konvergenz von geometrischen Reihen. Und irgendwie verstehe ich das nicht! Unter Wikipedia stand z.B.: "Eine (unendliche) geometrische Reihe konvergiert genau dann, wenn das Verhältnis q der zugrundeliegenden geometrischen Folge vom Betrag kleiner als Eins ist"
wie komme ich denn auf dieses Verhältnis? Bitte erklärt mir das an folgendem Beipsiel: die geometrische Reihe lautet:
9, 9/4 , 9/16 , 9/64 , ... Anfagsglied= 9 q= 1/4
Zu welcher Zahl muss 1/4 jetzt das Verhältnis -1<q<1 haben???

Gruß, deBozz
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist doch schon fertig!

Dein Verhältnis q ist 0.25... Und das ist im Absolutbetrag kleiner als 1. Also konvergiert die Folge!
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz geometrischer Reihen
Zitat:
Original von deBozz
Zu welcher Zahl muss 1/4 jetzt das Verhältnis -1<q<1 haben???

hehe, darf ich zur entwirrung beitragen? (da ich diese Antwort aus deinem Beitrag nicht rauslesen kann, Mike!)

in der geometrischen folge kann man q das "VERHÄLTNIS" nennen
wenn die davon reden, dass das "VERHÄLTNIS" betragsmäßig kleiner 1 sein muss, meinen die damit q selbst muss betragsmäßig kleiner 1 sein

Begründung für den Namen:
Verhältnis vermutlich deswegen, weil das verhältnis aufeinanderfolgender glieder ist.....

aber bisher kannte ich den Ausdruck auch noch nicht Wink
deBozz Auf diesen Beitrag antworten »

Big Laugh ja, das macht Sinn! lol Dankeschön!
Nun muss ich beweisen, dass geometrische Reihen konvergieren, wenn q vom betrag her kleiner als 1 ist.
Das habe ich doch jetzt richtig verstanden oder, also, dass geometrische Reihen NUR dann konvergent sind, wenn q betrag < 1 ?!?!?
Womit beweise ich das denn?
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz geometrischer Reihen
Zitat:
Original von LOED
in der geometrischen folge kann man q das "VERHÄLTNIS" nennen
wenn die davon reden, dass das "VERHÄLTNIS" betragsmäßig kleiner 1 sein muss, meinen die damit q selbst muss betragsmäßig kleiner 1 sein.


Das ist ja eigentlich aber genau das, was ich oben gesagt habe... Oder was war unverständlich? Ich sagte ja, dass sein 1/4 schon das Verhältnis sei!

Lg
deBozz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz geometrischer Reihen
Zitat:
Original von Frooke
Das ist ja eigentlich aber genau das, was ich oben gesagt habe... Oder was war unverständlich? Ich sagte ja, dass sein 1/4 schon das Verhältnis sei!
Lg


Passt schon. Ich habe es jetzt verstanden und nur das zählt! Augenzwinkern
Aber bitte sagt mir mal, wie ich das beweise!
 
 
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, wenn Du eine Folge hast der Form:



Dann ist der Grenzwert



Für die Konvergenz ist also entscheidend, was genau ist. Untersuchen wir also


PS: Bei -1 machst dann einfach 1,-1,1,-1,1,-1,1,-1.... also keine Konvergenz!
deBozz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Frooke
Nun, wenn Du eine Folge hast der Form:



Dann ist der Grenzwert



Für die Konvergenz ist also entscheidend, was genau ist. Untersuchen wir also


PS: Bei -1 machst dann einfach 1,-1,1,-1,1,-1,1,-1.... also keine Konvergenz!


Danke Frooke!!! Genügt das denn schon als Beweis? Was meinst du da unten bei PS? Verstehe die Zahlenkombo (1,-1,1,-1,...) nicht!
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

nein, das reicht noch nicht, um deine aussage zu beweisen
kennst du dich mit reihen aus?

dass q^n eine nullfolge ist, ist ein NOTWENDIGES kriterium für die konvergenz, allerdings ist es nicht hinreichend.
damit kannst du aber gleich auf die divergenz von ..... schließen.

je nach wissensstand würde ich da direkt mit konvergenzkriterien (wurzel/quotienten-kriterium) draufschlagen....
welche klasse gehst du denn!?
deBozz Auf diesen Beitrag antworten »

ich gehe in die 12 und schreibe eine facharbeit. ich muss eigentlich nur noch die konvergenz geometrischer reihen vorstellen und beweisen, dann bin ich fertig. also zuerst schreibe ich die notwendige bedingung, die eben genannt wurde. wie sieht denn die hinreihende aus? wurzel- und quotientenkriterium brauche ich nciht
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

das mit dem wurzelkriterium nehme ich auch zurück nach wikipedia-lesen
das kriterium scheint sich über die geom. reihe erst zu beweisen!

nutze die darstellung , die du notfalls beweisen musst (ist nicht schwer)
dann kannst du den grenzübergang n gegen unendlich durchführen und siehst die konvergenz sofort.
deBozz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Frooke

PS: Bei -1 machst dann einfach 1,-1,1,-1,1,-1,1,-1.... also keine Konvergenz!


Hi! Das verstehe ich immer noch nicht! Ich habe jetzt die drei Fälle vorgestellt, einmal q betrag < 1, q=1 und q betrag >1.Was mache ich mit q = -1?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LOED
nutze die darstellung

Jetzt geht es darum, wann die Folge konvergiert. Was steht denn da, wenn q = -1 ist?

Im übrigen ist keine Nullfolge, so daß eine Konvergenz der entsprechenden Reihe eh ausgeschlossen ist.
deBozz Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann also sagen, dass geometrische Reihen nur konvergieren, wenn -1<q<1 gilt!
Ich habe nun die verschiedenen Möglichkeiten für q vorgestellt (q=1, q>1, q<1 usw.). Irgendwo oben steht, dass das nur die notwendige bedingung ist. Kann mir bitte ochmal jemand die hinreichende ausführlich erklären? Danke
Gruß, deBozz
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das mit der notwendingen Bedingung hat sich darauf bezogen, dass die Folge der Glieder eine Nullfolge sein muss. Dass dies kein hinreichendes Kriterium ist, siehst du an der harmonischen Reihe .

Für die geometrische Reihe ist die Bedingung aber sowohl hinreichend als auch notwendig für die Konvergenz (genau dann).


Gruß, therisen
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit ist das ok. Das mit der notwendigen Bedingung bezieht sich darauf, daß eine Reihe nur dann konvergiert, wenn die zugehörige Folge der Summanden eine Nullfolge ist. Das reicht aber nicht aus. Deswegen gibt es noch weitere Kriterien, die man dann hinreichende Bedingungen nennt. Bei der geometrischen Reihe gibt es da aber keinen Unterschied. Soll sagen: Konvergiert eine geometrische Folge gegen Null, dann konvergiert auch die Reihe.
deBozz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von therisen

Für die geometrische Reihe ist die Bedingung aber sowohl hinreichend als auch notwendig für die Konvergenz (genau dann).



Sprich: Um die Konvergenz geometrischer Reihen zu beweisen, muss ich nur verschiedene q angeben? also reicht es, wenn ich schreibe:
für gilt : ...
für q=1 gilt: KONVERGENZ!!!
für gilt: ...
??? So wenig ist das nur?
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Wie verschiedene q? Jede geometrische Folge hat genau EIN q. Das charakterisiert sie ja... Und wenn |q|<1, so ist dies eine notwendige UND hinreichende Bedingung für die Konvergenz der zugehörigen Reihe!
deBozz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Frooke
Wie verschiedene q? Jede geometrische Folge hat genau EIN q. Das charakterisiert sie ja... Und wenn |q|<1, so ist dies eine notwendige UND hinreichende Bedingung für die Konvergenz der zugehörigen Reihe!


Ja, also muss ich für den beweis der konvergenz geometrischer reihen nur schreiben, dass für |q|<1 gilt: lim (n geg. unendlich) q^n = 0 ?
Das ist schon der gesamte Beweis?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist nur die halbe Miete. Du musst zeigen, dass genau dann erfüllt ist, wenn ist.
deBozz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von therisen
Nein, das ist nur die halbe Miete. Du musst zeigen, dass genau dann erfüllt ist, wenn ist.


Danke! Endlich mal einer, der Klartext redet. Wie es weiter geht, bin ich mir nicht ganz sicher. Geht das so?:
wenn , dann gilt:
und nach den grenzwertsätzen gilt:
* (1-q^n)/(1-q) = a(1) * 1/(1-q)

und sowmit heißt der grenzwert a(1) * 1/(1-q)


deBozz
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe keinen Beweis für die Behauptung.

Anscheinend verstehst du die mathematischen Formalismen noch nicht so ganz, daher formuliere ich es mal noch ein wenig mehr aus:

genau dann, wenn ist.

Das heißt nichts anderes als:

i) Ist , dann ist
ii) Ist , dann folgt .

Die Bedingung ii) ist übrigens äquivalent zu ii') Ist , so folgt


Gruß, therisen
deBozz Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das habe ich ja verstanden, aber das ist doch alles noch die notwendige Bedingung, oder nicht? Ich hätte gern einen Ansatz für die hinreichende.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Warum reitest du immer auf notwendig und hinreichend rum? verwirrt
Bei der geometrischen Reihe ist notwendig und hinreichend, daß |q| < 1 ist. Fertig.
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

...und das wurde doch schon mindestens drei mal gesagt... verwirrt
deBozz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Warum reitest du immer auf notwendig und hinreichend rum? verwirrt
Bei der geometrischen Reihe ist notwendig und hinreichend, daß |q| < 1 ist. Fertig.


Ja, das wurde auch schon ein paar Mal gesagt, also reicht es doch, wenn ich ich den Grenzwert vorstelle, der sich ergibt, wenn |q| < 1 ist, oder? Irgendwelche meinten immer, dass da dann noch was fehlen würde. verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von deBozz
also reicht es doch, wenn ich ich den Grenzwert vorstelle, der sich ergibt, wenn |q| < 1 ist, oder?

Reichen wofür? Grenzwert von was?

Worum geht es denn nun eigentlich? Geht es um den Beweis, daß die geometrische Reihe für |q| < 1 konvergiert? Oder darum, wie man das anwendet? Und wer sind "irgendwelche" ? verwirrt
deBozz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Reichen wofür? Grenzwert von was?

Worum geht es denn nun eigentlich? Geht es um den Beweis, daß die geometrische Reihe für |q| < 1 konvergiert? Oder darum, wie man das anwendet? Und wer sind "irgendwelche" ? verwirrt

Also, ich muss die Konvergenz geometrischer Reihen beweisen. Dazu meint ihr doch, dass es notwendig UND hinreichend ist, dass |q| < 1, oder? Nun muss ich dann nur diesen fall zeigen!
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Was du zeigen musst habe ich weiter oben schon geschrieben...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz geometrischer Reihen
Meinst du dieses Beispiel?
Zitat:
Original von deBozz
Bitte erklärt mir das an folgendem Beipsiel: die geometrische Reihe lautet:
9, 9/4 , 9/16 , 9/64 , ... Anfagsglied= 9 q= 1/4

Da steht doch schon q = 1/4. Bei einer geometrischen Reihe ist q immer der Quotient . Und dieser Quotient ist und bleibt gleich für jedes n.
deBozz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von therisen
Was du zeigen musst habe ich weiter oben schon geschrieben...


Ja, genau deswegen reden wir aneinander vorbei, glaube ich. Oder warum meinen mache, dass hinreichende und notwendige Bedingung das selbe seien?
Das ist nach deiner Antwort doch nicht so, oder?
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich ist es nicht so, aber in diesem Fall sind sie halt identisch.
deBozz Auf diesen Beitrag antworten »

OK, ich komme nun zur hinreichenden Bedingung, meine Aufgabe ist es nun also (ich zitiere):
Zitat:
Original von therisen
Du musst zeigen, dass genau dann erfüllt ist, wenn ist.


Bitte sag mir jemand, wie ich das aufschreibe. Für mich ist das klar, dass , wenn . Das sieht man doch! Wie formuliere ich denn das als hinreichende Bedingung?
(Eigentlich muss ich doch nur zeigen, dass ein Bruch oft mit sich selber multipliziert, immer kleiner wird und der 0 nahe kommt)
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Argumente wie "Das sieht man doch!" sind nur in der Schule zulässig Augenzwinkern

Du musst einfach zeigen, dass die Definition einer konvergenten Folge erfüllt ist, d.h. hier konkret, dass es zu jedem ein gibt, so dass für alle .

Dies lässt sich mit Hilfe der Anordnungsaxiome (speziell das Archimedische Axiom) von zeigen.



Gruß, therisen
deBozz Auf diesen Beitrag antworten »

Sprich ich muss die vollständige Induktion durchführen?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, es hat nur bedingt etwas mit vollständiger Induktion zu tun. Wie gesagt, du müsstest mit dem archimedischen Axiom und der Ungleichung von Bernoulli argumentieren. Das findest du in jedem Analysis 1 Buch. Ein bisschen selbstständig arbeiten sollst du ja auch Augenzwinkern Zumal es deinem Lehrer wohl auch so genügen wird, oder ist das für die Uni?


Gruß, therisen
deBozz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von therisen
Naja, es hat nur bedingt etwas mit vollständiger Induktion zu tun. Wie gesagt, du müsstest mit dem archimedischen Axiom und der Ungleichung von Bernoulli argumentieren. Das findest du in jedem Analysis 1 Buch. Ein bisschen selbstständig arbeiten sollst du ja auch Augenzwinkern Zumal es deinem Lehrer wohl auch so genügen wird, oder ist das für die Uni?


Gruß, therisen


Ja, also ich habe heute mit meinem Lehrer gesprochen und der meinte, dass ich die vollständige Induktion nicht machen bräuchte. Also nehme ich jetzt nur den ersten Teil. Das ist doch dann eigentlich die notwendige Bedingung, oder?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du mit "dem ersten Teil"?

Zitat:
Eine hinreichende Bedingung für einen Sachverhalt ist eine Bedingung, bei deren Erfüllung zwangsläufig dieser Sachverhalt eintritt. Umgekehrt muss sie aber nicht unbedingt erfüllt sein, wenn der Sachverhalt vorliegt. Das Gegenstück zur hinreichenden Bedingung ist die notwendige Bedinung, die besagt, dass ein Sachverhalt erforderlich, aber eben nicht ausreichend dafür ist, dass ein anderer Sachverhalt eintritt.


Drücke dich bitte allgemein genauer aus.


Gruß, therisen
deBozz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von therisen
Was meinst du mit "dem ersten Teil"?


Mit dem ersten Teil meine ich, dass ich nur schreibe, dass eine geometrische Reihe konvergiert, wenn q Betrag < 1.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist dann eine hinreichende Bedingung.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »