grenzwert einer alternierenden geometrischen folge

17.02.2006, 22:28

enmi

grenzwert einer alternierenden geometrischen folge

wie bestimme ich den grenzwert einer alternierenden geometrischen folge?
an/an-1 = q (stimmt das?)
und wenn b8 = 3,2 und b10 = 0,2 ist dann q = 4 ?
hab gerechnet b10/b8 =q² also wurzel aus (0,2 / 3,2) (stimmt das so?)

und wie berechne ich die summe der zugehörigen unendlichen geometrischen reihe (falls sie existiert)?

danke für deine hilfe!

17.02.2006, 22:31

mYthos

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{0,2}{3,2}} \end{eqnarray*}$ ist nicht 4

17.02.2006, 22:38

enmi

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sorry 0,25

hab die zahlenwerte vertauscht!

der quotient ist also ein viertel (1/4) - oder?

und wie berechne ich die summe der zugehörigen unendlichen geometrischen reihe (falls sie existiert)?

danke für deine hilfe!

17.02.2006, 22:45

mYthos

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ ist richtig!

Wenn die geometrische Folge alternierend sein soll, ist deren Quotient q negativ. Damit die Reihe (Summe) konvergiert, muss der Betrag des Quotienten kleiner als 1 sein, also q zwischen -1 und +1 liegen:

$\begin{eqnarray*} -1 < q < 1 \end{eqnarray*}$

Kennst du die Summenformel für die unendliche geometrische Reihe? Wenn nicht, kannst du sie leicht aus der Summenformel für die endliche Reihe (mittels Grenzwertbestimmung) ableiten [ $\begin{eqnarray*} q^n \ \Rightarrow 0, \ wenn |q| < 1 \end{eqnarray*}$ ]

Gr
mYthos

17.02.2006, 23:17

enmi

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also die Summenformel für die unendliche geometrische Reihe hab ich gefunden p^i = 1 / (1-p)

was genau ich damit anfangen soll weiss ich aber nicht...

17.02.2006, 23:34

mYthos

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Was soll p^i sein?

Das stimmt nur dann, wenn darunter $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n~p^i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |p| < 1 \end{eqnarray*}$ zu verstehen ist.

Umgesetzt auf die allg. geometrische Reihe mit dem Anfangsglied $\begin{eqnarray*} b_1 \end{eqnarray*}$ und dem Quotienten q heisst dies:

$\begin{eqnarray*} S_{\infty} = \frac{b_1}{1 - q} \ ... \ |q| < 1 \end{eqnarray*}$

20.02.2006, 14:59

enmi

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b1 = 209715,2 ?

wenn b8 = 3,2 => b8 / q^8 = b1
bzw. wenn b10 = 0,2 => b10 / q^10 = b1 - oder?

so komme ich auf b1 = 209715,2

die Summe müsste dann:

b1 / 1 - q (q < 1 ist erfüllt mit q = -1/4 bzw |1/4|)

209715,2 / (1 + 0,25) = 167772,16 - kann das stimmen?

danke für deine hilfe!

21.02.2006, 01:45

mYthos

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Zitat:

Original von enmi
...
wenn b8 = 3,2 => b8 / q^8 = b1
bzw. wenn b10 = 0,2 => b10 / q^10 = b1 - oder?
...

Da machst du einen Fehler, denn es ist $\begin{eqnarray*} b_8 = b_1 \cdot q^7 \end{eqnarray*}$ , oder $\begin{eqnarray*} b_{10} = b_1 \cdot q^9 \end{eqnarray*}$ . Also z.B. bei $\begin{eqnarray*} b_2 \end{eqnarray*}$ multiplizierst du $\begin{eqnarray*} b_1 \end{eqnarray*}$ erst ein Mal mit q.

Allgemein ist

$\begin{eqnarray*} b_n = b_1 \cdot q^{n - 1} \end{eqnarray*}$

Ansonsten würde dein Weg formal stimmen, auch die Summenberechnung.

$\begin{eqnarray*} b_1 = \frac{b_{10}}{q^9} \end{eqnarray*}$ ... (auch $\begin{eqnarray*} \frac{b_8}{q^7} \end{eqnarray*}$ wäre möglich, weil auch $\begin{eqnarray*} b_8 \end{eqnarray*}$ bekannt)

$\begin{eqnarray*} b_1 = \frac{0,2}{(-\frac{1}{4})^9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_1 = 0,2 \cdot (-4)^9 \ = \ - 52428,8 \end{eqnarray*}$

Gr
mYthos

22.02.2006, 11:14

enmi

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Wenn du wissen willst, was wirklich ärgerlich ist, kann ich dir es sagen:
Das 2-mal Posten ein und derselben Frage mangels Geduld!

SORRY - SOLL NICHT WIEDER VORKOMMEN! war nur so, dass ich die aufgabe heute gebraucht hätte...

vielen dank für deine hilfe - werde mir die aufgabe nochmals anschauen!

23.02.2006, 07:06

enmi

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b1 = -52428,8 => summe = b1/(1-q) = -52428,8/1,25 = -41943,04

richtig so?
danke nochmals für deine hilfe

23.02.2006, 09:05

phi

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moin,

ja das müsste so stimmen

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grenzwert einer alternierenden geometrischen folge

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