Nachfrageelastizität

02.06.2008, 08:47

hasesh

Nachfrageelastizität

Aufgabe
1. Berechnen Sie die Elastizität der Nachfragefunktion f(p) = 1200 -3p $\begin{eqnarray*} +0,0012p^2 \end{eqnarray*}$ .
2. Wo im Intervall [0;500] ist die Funktion elastisch (Betrag der Elastizität größer als 1)?
3. Bestimmen Sie das Maximum der Umsatzfunktion u(p) = p*f(p)

Moin!

Ich habe zwar eine schlecht lesbare Kopie der Aufgabenstellung und eine gut lesebare Lösung, die aber irgendwie nicht zusammenpassen, oder doch?

zu 3
Das Maximum der Umsatzfunktion würde ich ja über u ' (p) berechnen. Gibt es ggf. auch eine Lösung über die Elastizität?

u(p) = 1200p $\begin{eqnarray*} -3p^2 +0,0012p^3 \end{eqnarray*}$

u ' (p) = 1200 -6p + $\begin{eqnarray*} 0,0036p^2 \end{eqnarray*}$

0 = 333333 -1667p + $\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$

p1 =833 - $\begin{eqnarray*} \sqrt{360556} \end{eqnarray*}$ (gerundet)

p1 = 232,4 mit u '' (233,4) < 0 => MAXIMUM

:

[Die Lösung ist p=232,4 --- könnte also hinkommen]

zu 1
Die Elastiziät würde ich berechnen:

$\begin{eqnarray*} \epsilon = \frac{f'(p)*p}{f(p)} \end{eqnarray*}$

f '(p) = -3 + 0,0024p

$\begin{eqnarray*} \epsilon = \frac{(-3 +0,0024p)*p}{1200-3p+0,0012p^2} \end{eqnarray*}$

Aber in der Lösung steht:

$\begin{eqnarray*} \epsilon = \frac{2p*(-1250+p)}{1000000 -2500p+p^2} \end{eqnarray*}$

Wie geht das???

*** Ahh, ich sehe gerade, der Bruch wurde mit 0,0012 erweitert... ***

Danke für eure Hilfe!

Gruß

02.06.2008, 09:05

hasesh

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RE: Nachfrageelastizität
Aber wie komme ich jetzt auf den elastischen Bereich?

$\begin{eqnarray*} \epsilon = \frac{2p*(-1250+p)}{1000000 -2500p+p^2} \end{eqnarray*}$

Wenn ich $\begin{eqnarray*} \epsilon =1 \end{eqnarray*}$ setze erhalte ich für p=1000 ???

In der Lösung steht p soll $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [232,4;500] sein??????

02.06.2008, 11:11

Dual Space

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RE: Nachfrageelastizität
Die gegebene Lösung kann nicht stimmen. Wie man sich schnell überlegt, gibt es zwei disjunkte Intervalle für p für die die Funktion elastisch ist.

Das erste der Intervalle ist offen, beschränkt und enthält p=500. Das zweite ist ebenfalls offen, nach oben unbeschränkt und die linke Intervallgrenze ist größer als 1250.

02.06.2008, 11:27

hasesh

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RE: Nachfrageelastizität
Wie komme ich denn auf das erste Intervall? So wie ich die Aufgabenstellung lese, soll ich für die Elastizität nur das Intervall [0;500] betrachten...

Ich komme aber nur auf p=1000 !

02.06.2008, 11:41

Dual Space

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RE: Nachfrageelastizität

Zitat:

Original von hasesh
So wie ich die Aufgabenstellung lese, soll ich für die Elastizität nur das Intervall [0;500] betrachten...

Oh, das hatte ich überlesen.

Eine Funktion ist definitionsgemäß elastisch, wenn $\begin{eqnarray*} |\varepsilon|>1 \end{eqnarray*}$ . Also musst du folgende Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{p\cdot f'(p)}{f(p)}\right|>1 \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} p\in[0,500] \end{eqnarray*}$ lösen.

Edit: Für die Einschränkung $\begin{eqnarray*} p\in[0,500] \end{eqnarray*}$ ist die Funktion tatsächlich für $\begin{eqnarray*} p\in (\tfrac{2500-\sqrt{3250000}}{3},500] \end{eqnarray*}$ elastisch.

02.06.2008, 12:29

hasesh

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RE: Nachfrageelastizität

Zitat:

Original von Dual Space

Eine Funktion ist definitionsgemäß elastisch, wenn $\begin{eqnarray*} |\varepsilon|>1 \end{eqnarray*}$ . Also musst du folgende Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{p\cdot f'(p)}{f(p)}\right|>1 \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} p\in[0,500] \end{eqnarray*}$ lösen.

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{2p^2 -2500p}{p^2-2500p+1000000} \mid > 1 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} p^2-2500p+1000000 \end{eqnarray*}$ für 0 < p < 500 größer null ist:

$\begin{eqnarray*} \mid 2p^2 -2500p \mid > p^2-2500p+1000000 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} 2p^2-2500p \end{eqnarray*}$ für 0 < p < 500 kleiner null ist:

$\begin{eqnarray*} -2p^2 +2500p > p^2-2500p+1000000 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 > 3p^2-5000p+1000000 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 > p^2-1667p+333333 \end{eqnarray*}$

p1 = 833 - 601 = 232

p2 = 833 + 601 = 1434

D.h. in diesem Bereich wäre die Funktion elastisch?! Da ich aber nur das Intervall [0;500] betrachte, ist die Funktion elastisch zwischen [232; 500]

richtig?

02.06.2008, 13:01

Dual Space

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RE: Nachfrageelastizität

Zitat:

Original von hasesh
Da ich aber nur das Intervall [0;500] betrachte, ist die Funktion elastisch zwischen [232; 500]

richtig?

Bis auf einen Rundungsfehler ist das korrekt. Richtig wäre $\begin{eqnarray*} p\in[233,500] \end{eqnarray*}$ wenn du ganzzahlig rundest. Freude

(Deine Bemerkung unmittelbar zuvor stimmt aber nicht. Augenzwinkern

)

02.06.2008, 13:06

hasesh

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Ich habe die Lösungen der Ungleichung ausgerechnet. Heisst das dann, dass die Funktion nur für p=232 und p=1434 elastisch ist?

Aufgrund welches Zusammenhangs komme ich zu dem Schluss, dass die Funktion im Bereich [232;500] elastisch ist?

02.06.2008, 13:29

Dual Space

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Du brachtest also die besagte Ungleichung für den Fall p<500. p=500 muss man isoliert diskutieren. Der Fall p<500 ist sehr bequem, weil sich die Beträge von Zähler und Nenner in Wohlgefallen auflösen, ohne weitere Fallunterscheidungen zu bemühen.

Insbesondere ist es wegen der Betragsauflösung unzulässig Werte größer als p=500 zu betrachten. Klar?

Erneut weise ich darauf hin, dass die Funktion auf [232,500] nicht elastisch ist (Rundungsfehler!). Auf [233,500] hingegen schon.

Wie kommt man nun zu dem Schluss, dass das der Fall ist? Nun du hast nachgewiesen, dass die Elastizität für diese Werte von p betragsmäßig größer als eins ist.

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