uneigentliches Integral einer Kurvenschar

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18.02.2006, 10:28	Bloomy	Auf diesen Beitrag antworten »
uneigentliches Integral einer Kurvenschar Hi, ich mal wieder^^. Ich soll die unbegrenzten Flächenstücke zwischen ft(x)=(e^x-t)² und gt(x)=t² berechnen und gucken, ob sich für diese Flächen eine Maßzahl bestimmen lässt. Die soll ich in Abhängigkeit von t angeben. Hört sich ja eigentlich recht einfach an, hab die beiden Gleichungen gleichgesetzt, dann aufgeleitet und ein uneigentliches Integral aufgestellt. Die Aufleitung ist: F(x) = (e^x-t)³ / 3e^x und das Integral: $\begin{eqnarray} \lim_{b \to \infty} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{b}^{a}~(e^x-t)²-t~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\lim_{b \to \infty} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ([(e^a-t)^3 / 3e^a] - [(e^b-t)^3 / 3e^b]) \end{eqnarray}$ Wenn ich aber für b eine hohe Zahl einsetze, kommt da leider nicht 0 oder irgendwas anderes schönes raus :-(. Und jetzt weiß ich nicht, wie ich das weiter auflösen soll... edit20: unendlich = \infty in latex.
18.02.2006, 13:08	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, plotte die Kurven mal für einige verschiedenen t-Werte. Du wirst sehen, dass die gemeinsame Fläche zwischen $\begin{eqnarray} -\infty \end{eqnarray}$ und einer oberen Grenze liegt, die als Schnittpunkt der beiden Kurven bzw. als Nullstelle des Differenztermes zu ermitteln ist. Bevor du integrierst, forme den Differenzterm etwas um: $\begin{eqnarray} (e^x - t)^2 - t^2 = e^{2x} - 2t \cdot e^x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g_t(x) = t^2 \end{eqnarray}$ lt. Angabe (und NICHT t), deswegen stimmt dein Integral nicht Gr mYthos
18.02.2006, 13:09	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
also erstmal müsste in deinem integral t^2 stehen, nicht t. zweitens hast du vergessen das t, bzw. t^2, zu integrieren, du hast nur f_t(x) integriert. mfG 20
18.02.2006, 13:57	Bloomy	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, bei dem t hatte ich mich verschrieben, natürlicbh muss das t² heißen :-) Stimmt, da hab ich vor lauter Konzentration, auch ja die richtige Integrationsregel anzuwenden wohl das t² vergessen, das ist dann integriert 1/3t³ Ist das nicht viel schwieriger zu integrieren, wenn ich den Term umforme? Dann hab ich ja ein Produkt und muss die Produktintegration anwenden! Ist die Integration nicht auch so richtig: F(x) = (e^x-t)³ / 3e^x - 1/3t³? Mhm...ich kann die Funktion nicht plotten, der kennt die Zahl e nicht... Als Nullstelle des Differenzterms hab ich x=ln2t
18.02.2006, 13:59	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
so ist es nicht richtig, leite zur probe mit quotientenregel ab. so gehts nur, wenn die innere ableitung konstant ist. Wenn du so umformst, wie Mythos gesagt hat, dann brauchst du nur die normale summenregel, kannst also ganz einfach integrieren. mfG 20
18.02.2006, 14:04	Bloomy	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, das wusste ich nicht. Also, kann ich generell so nicht aufleiten, wenn irgendeine Variabel in der Klammer steht oder hab ich das falsch verstanden? War mir nicht sicher, ob ich das t auch aufleiten muss, also tx schreiben muss oder einfach nur t. Hab das jetzt mal mit aufgeleitet und das raus: F(x) = 0,5 e^2x - 2txe^x
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18.02.2006, 14:05	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
nein, das x beim t ist falsch, das t ist ja nur ein faktor, ein konstanter faktor, so wie die 2. ansonsten stimmts aber. mfG 20
18.02.2006, 14:17	Bloomy	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, danke Eine Frage hab ich aber noch...wie bekommt man denn rechnerisch heraus (also, ohne die Funktion zu plotten, kann ich ja in der Klausur nicht machen),ob die Funktion zwischen - $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ und einem Wert oder + $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ und einem Wert liegt? In der Aufgabenstellung steht nämlich nur, dass die Flächenstücke unbegrenzt sind aber nicht in welche Richtung. Und Mythos meinte ja, die sind zwischen - $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ und der Nullstelle des Differenzterms. Aber wie rechnet man das aus? Mach ich das mit dem Grenzverhalten?
18.02.2006, 14:20	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
ich denke, du musst die schnittpunkte berechnen und dann beide versionen ausprobieren, einmal von -unendlich bis zum schnittpunkt und vom schnittpunkt bis unendlich. mfG 20
18.02.2006, 15:38	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Vorzeichen des $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ ist bei $\begin{eqnarray} f:= exp(x) \end{eqnarray}$ relativ einfach zu entscheiden, denn $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} e^x = \infty \end{eqnarray}$ aber $\begin{eqnarray} \lim_{x \to -\infty} e^x = \lim_{x \to \infty} e^{-x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^x} = 0 \end{eqnarray}$ .. mit anderen Worten, die Exponentialfunktion $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ strebt nur bei großem negativen Argument gegen Null. Gr mYthos
19.02.2006, 12:07	Bloomy	Auf diesen Beitrag antworten »
Mhm... Aber wenn ich $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ für b einsetzte, strebt bei mir auch nichts gegen O! Das ist ja mein Problem... Ich schreib mal kurz auf, wie ich das gerechnet habe: $\begin{eqnarray} \lim_{b \to \infty } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{ln2t}^{b}~(e^x \end{eqnarray}$ -t²)-t²dx = $\begin{eqnarray} \lim_{b \to \infty } \end{eqnarray}$ [1/2 e^2x-2t e^x] = $\begin{eqnarray} \lim_{b \to \infty } \end{eqnarray}$ (1/2 e^2ln2t -2t e^ln2t) - (1/2e^2b-2te^b) Ich kann für b einsetzen, was ich will, ich bekomme immer eine andere Zahl raus

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