Hyperbeln - Sätze

18.02.2006, 11:09	JP_123	Auf diesen Beitrag antworten »
Hyperbeln - Sätze Hi! Ich schreibe gerade eine Facharbeit über "Hyperbeln und Hyperbelnavigation". Im Moment bin ich gerade bei der Gliederung (ein schwieriges Unterfangen!!) und habe im Rahmen meiner Recherchen folgende "Sätze" gefunden. 1. Für alle Punkte P einer Hyperbel ist die Differenz der Entfernungen zu ihren Brennpunkten F1 und F2 gleich \|PF1-PF2\|=2a. 2. Für alle Punkte P einer Hyperbel hat das Verhältnis der Entfernung von einem Brennpunkt zum Abstand von der zugehörigen Leitgeraden einen festen Wert > 1: PF : PL = EPSILON 3. Die Tangente an eine Hyperbel im Punkt P halbiert den Winkel zwischen PF1 und PF2. (F1 und F2 sind die Brennpunkte) 4. Der Spiegelpunkt eines Brennpunktes an einer Hyperbeltangente liegt auf einem kreis um den anderen Brennpunkt mir dem Radius 2a. Ich bin der Meinung, dass diese 4 Sätze unbedingt in die Facharbeit gehören. Daher meine Frage: Sind das alle oder wenigstens die wichtigsten Sätze für die Hyperbel? Sind die Bezeichnungen "Satz 1, Satz 2,..." aus der Literatur bindend oder kann ich sie auch selbst von 1-4 durchnummerieren`? Vielen Dank. JP_123
18.02.2006, 14:29	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Du kannst die "Sätze" durchaus so nummerieren, wie du das sinnvoll findest. 1. OK, es ist ja die Definition der Hyperbel dann würde ich die 2. Definition hier einschieben: Die Hyperbel ist der Ort der Mittelpunkte aller Kreise, die durch einen festen Punkt ( $\begin{eqnarray} F_1 \end{eqnarray}$ ) gehen und einen festen Kreis (Mittelpunkt $\begin{eqnarray} F_2 \end{eqnarray}$ und Radius $\begin{eqnarray} 2a \end{eqnarray}$ ) von aussen berühren. Der Kreis (Mittelpunkt $\begin{eqnarray} F_2 \end{eqnarray}$ und Radius $\begin{eqnarray} 2a \end{eqnarray}$ ) heisst auch Leitkreis oder Gegenpunktekreis. Die anderen Definitionen sind OK. Dazu noch: e = $\begin{eqnarray} MF_1 \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} MF_2 \end{eqnarray}$ .. lineare Exzentrizität M .. Mittelpunkt der Hyperbel Spiegelt man den Brennpunkt $\begin{eqnarray} F_1 \end{eqnarray}$ an der Tangente in einem Punkt P, so erhält man einen so genannten Gegenpunkt ( $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ ), welcher auf dem erwähnten Leitkreis (Gegenpunktekreis) liegt. Die Verbindung $\begin{eqnarray} GF_1 \end{eqnarray}$ schneidet die Tangente in einem Punkt $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ , dem Normalenfußpunkt, welcher auf der Scheiteltangente (Tangente in A) liegt. Die Gleichung der Leitgeraden lautet: $\begin{eqnarray} x = \frac{a^2}{e} \end{eqnarray}$ . Der Wert $\begin{eqnarray} \frac{e}{a} \end{eqnarray}$ wird mit $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ bezeichnet und heisst numerische Exzentrizität. Mittels der numerischen Exzentrizität $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ und der Leitgeraden ist eine gemeinsame Definition für Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel möglich. Gr mYthos
20.02.2006, 20:07	JP_123	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Hat zwar etwas gedauert, bis ich die für mich neue Definiton verstanden habe (ich habe sie später auch in einem Buch gefunden), ich denke aber, dass ich damit gut arbeiten kann. Habe diese Definition neben der Abstandsdefinition und der Definition als Kegelschnitt nun als Ausgangspunkt der Facharbeit gewählt. Vielen Dank.

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