Richtungsableitungen

02.06.2008, 13:34

PimpWizkid

Richtungsableitungen

Heyho!

Wie kann ich zeigen, dass alle Richtungsableitungen folgender Funktion existieren?
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}; (x,y)\mapsto\begin{cases}\frac{xy^3}{x^2+y^6}\indent\text{, für }(x,y)\neq 0 \\ 0\indent\indent\indent (x,y)=(0,0)\end{cases} \end{eqnarray*}$

Wär schön, wenn ihr mir ein wenig helfen könntet!

Danke,
PimpWizkid

02.06.2008, 13:36

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Richtungsableitungen
Zeige evtl. dass alle partiellen Ableitungen stetig sind. Damit folgt unmittelbar, dass f schon Frechet-differenzierbar ist.

02.06.2008, 14:08

PimpWizkid

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schonmal, aber die Frechet-Differenzierbarkeit hatten wir in der Vorlesung noch nicht (weiß gar nicht ob die überhaupt noch drankommt). Gibt es evtl. einen anderen Weg?

02.06.2008, 14:26

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

Der einzig kritische Puntk ist (0,0). Schreib also die Definition der Richtungsableitung in (0,0) auf und zeige, dass der entsprechende Grenzwert existiert.

02.06.2008, 14:50

PimpWizkid

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich fang einfach mal an...

Die Richtungsableitung ist ja wie folgt definiert:
$\begin{eqnarray*} D_vf(x_0):=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h\cdot v)-f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} v\neq 0 \end{eqnarray*}$ folgt dann nach Funktionsvorschrift:
$\begin{eqnarray*} D_vf(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h\cdot v)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{(h\cdot x_v)(h\cdot y_v)^3}{(h\cdot x_v)^2+(h\cdot y_v)^6}\cdot \frac1h=\lim_{h\to 0}\frac{x_v\cdot h^2y_v^2}{x_v^2+h^5y_v^6}=\frac{0}{x_v^2}=0 \end{eqnarray*}$

Damit existiert die Richtungsableitung in $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ . Richtig so?

02.06.2008, 14:52

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} h\to\infty \end{eqnarray*}$ ??

Wie du das 1/h mit dem ersten Bruch verarbeitet hast ist mir auch nicht klar.

02.06.2008, 14:55

PimpWizkid

Auf diesen Beitrag antworten »

ups... das editier ich dann glaub ich wohl nocheinmal

02.06.2008, 14:56

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja mach mal ... und überprüfe deine Rechnung besser noch mal.

02.06.2008, 15:03

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{(h\cdot x_v)(h\cdot y_v)^3}{(h\cdot x_v)^2+(h\cdot y_v)^6}\cdot \frac1h\not=\lim_{h\to 0}\frac{x_v\cdot h^2y_v^2}{x_v^2+h^5y_v^6} \end{eqnarray*}$

02.06.2008, 15:04

PimpWizkid

Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, da hab jetzt grad n Brett vorm Kopf... *weitersuch*

** Kann ich nicht das $\begin{eqnarray*} \frac1h \end{eqnarray*}$ mit einem $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ aus dem Zähler kürzen ** verwirrt

02.06.2008, 15:09

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

Klar kannst du ... aber dann bitte richtig.

$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{(h\cdot x_v)(h\cdot y_v)^3}{(h\cdot x_v)^2+(h\cdot y_v)^6}\cdot \frac{1}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{h^4x_vy_v^3}{h^2\cdot x_v^2+h^6\cdot y_v^6}\cdot \frac{1}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{h^3x_vy_v^3}{h^2\cdot x_v^2+h^6\cdot y_v^6} \end{eqnarray*}$

02.06.2008, 15:16

PimpWizkid

Auf diesen Beitrag antworten »

D'oh

$\begin{eqnarray*} \left[...\right]=\lim_{h\to 0}\frac{hx_vy_v^3}{x_v^2+h^4y_v^6}=0 \end{eqnarray*}$

So stimmts aber, oder?

02.06.2008, 15:18

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

Geht doch. Augenzwinkern

So nun musst du aber noch begründen, warum die Punkte verschieden von (0,0) unproblematisch sind.

02.06.2008, 15:26

PimpWizkid

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm,... hilft mir die Stetigkeit außerhalb von $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ weiter?

02.06.2008, 15:28

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht wirklich. Aber du kannst schnell begründen, dass $\begin{eqnarray*} f\in C^1(\mathbb{R}^2\setminus\{0\}) \end{eqnarray*}$ , wenn du dir mal die Komponentenfunktionen anguckst. Dann weißt du, dass der Gradient existiert und kannst die Richtungsableitung mit hilfe des Gradienten schreiben.

02.06.2008, 15:34

PimpWizkid

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} f\in \mathbb{C}^1 \end{eqnarray*}$ heißt, dass alle partiellen Ableitungen (außerhalb von 0) existieren?

02.06.2008, 15:37

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

... und zudem noch stetig sind.

02.06.2008, 15:40

PimpWizkid

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, den Satz kenn ich... Aber ich seh nicht wie ich das schnell begründen könnte ohne das jetzt im einzelnen nachzurechnen :/

02.06.2008, 15:41

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

Betrachte also die Funktion $\begin{eqnarray*} g(x,y)=\frac{xy^3}{x^2+y^6} \end{eqnarray*}$ . g ist eine Komposition von stetig differenzierbaren Funktionen und somit selber stetig differenzierbar.

02.06.2008, 15:47

PimpWizkid

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Folgt denn daraus dann schon, dass g auch partiell stetig diffbar ist?

02.06.2008, 15:56

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

Denk doch mal selber drüber nach. Bedenke, dass es die Grenzwertsätze für Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten gibt.

02.06.2008, 18:42

PimpWizkid

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, ich komm nicht drauf... unglücklich

** Aber nochmal eine andere Frage: Wie kann ich zeigen dass eine Funktion wie oben angegeben stetig ist oder auch nicht? Ich habe gelesen, dass man das mit Polarkoordinaten machen kann... Kann mir das jemand erklären? **

02.06.2008, 20:08

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von PimpWizkid
Wie kann ich zeigen dass eine Funktion wie oben angegeben stetig ist oder auch nicht?

Geht auch ohne Polarkoordinaten. Wie habt ihr Stetigkeit solcher Funktionen denn definiert?

Zitat:

Original von PimpWizkid
Ok. Folgt denn daraus dann schon, dass g auch partiell stetig diffbar ist?

Diese Frage zeigt eigentlich, dass du keine Ahnung hast, was eigentlich zu tun ist. Wenn du dir im klaren wärst, was die erste Ableitung einer Funktion mit mehreren Variablen eigentlich ist, würdest du sowas nie fragen.

Für $\begin{eqnarray*} f\in C^1(\mathbb{R}^n) \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} f'(x):=(\nabla f(x))^T \end{eqnarray*}$ .

Nun sollte dir klar sein, dass C^1 trivialerweise stetige partielle Ableitungen impliziert.

Neue Frage »

Antworten »

Richtungsableitungen

Verwandte Themen