Ableitung, Taylorreihe, Konvergenzradius

18.02.2006, 17:41

k_wolt

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Ableitung, Taylorreihe, Konvergenzradius

Hallo liebe Leut,
I have a little question:

Stimmen meine Ableitungen?

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{1+x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=-\frac{2}{(1+x)³} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)= \frac{6}{(1+x)^4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'''(x)= -\frac{24}{(1+x)^5} \end{eqnarray*}$

...
also $\begin{eqnarray*} f^{(K)}(x)= (-1)^{(k)}\frac{(k+1)!}{(1+x)^{k+2}} \end{eqnarray*}$

Please Hilfe

Hilfe

18.02.2006, 17:43

aRo

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nein, deine erste ableitung ist bereits falsch.

wende quotienten oder kettenregel an.

aRo

18.02.2006, 17:45

PimpWizkid

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Bei mir kommt bei der ersten Ableitung schon was anderes raus... du musst die Ketten- und Quotientenregel beachten!!

edit: damn warum bin ich so langsam *g*

18.02.2006, 17:53

k_wolt

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stimmt, ist es so richtig?

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{1+x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=-\frac{1}{(1+x)²} \end{eqnarray*}$

18.02.2006, 17:59

mercany

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Zitat:

Original von k_wolt05
stimmt, ist es so richtig?

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{1+x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=-\frac{1}{(1+x)²} \end{eqnarray*}$

Freude

18.02.2006, 18:30

k_wolt

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Dankeschön für`s erste, allerdings würde ich gern noch daraus die Taylorreihe machen. Ist das so richtig( (k!) hat sich rausgekürzt)?

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{1+x} \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} f^{(K)}(x)= (-1)^{(k)}\frac{k!}{(1+x)^{k+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T=\sum_{k=0}^{\infty}~ \frac{(-1)^{k}}{(1+a)^{k+1}}*(x-a)^{k} \end{eqnarray*}$

Please Hilfe

Hilfe

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18.02.2006, 18:34

zeta

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sieht gut aus! Rock

Rock

18.02.2006, 18:46

k_wolt

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und wäre das jetzt mein Konvergenzradius?

$\begin{eqnarray*} (-1)^{k-1}* \frac{1+x-a}{x-a} \end{eqnarray*}$

ich habe das Quotientenkr. angewendet

18.02.2006, 19:02

klarsoweit

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Da täte mich mal interessieren, wie du nach Anwendung des Quotientenkriteriums auf diesen Ausdruck kommst. Außerdem kann das kein Konvergenzradius sein. Der Konvergenzradius sagt, für welche x die Reihe konvergiert. Was du da hast, ist irgendein Term.

18.02.2006, 19:08

k_wolt

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du hast recht, das sieht vielleicht schon etwas besser aus, aber weiter weiß ich nicht:

$\begin{eqnarray*} \frac{1+x}{2+x} \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

18.02.2006, 19:15

klarsoweit

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Hmm.

verwirrt

Du hast doch
$\begin{eqnarray*} a_k = \frac{(-1)^{k}}{(1+a)^{k+1}}*(x-a)^{k} \end{eqnarray*}$
Jetzt schreib mal hin, was $\begin{eqnarray*} \mid \frac{a_{k+1}}{a_k} \mid \end{eqnarray*}$ ist.

18.02.2006, 19:25

k_wolt

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ich wusste nicht so recht, für welche Variable ich das einsetzen soll

also ein weiterer Versuch, was bestimmt wieder falsch ist

$\begin{eqnarray*} \frac{x-a}{1+a} \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

18.02.2006, 19:38

zeta

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Zitat:

Original von klarsoweit
Hmm. verwirrt

verwirrt

Du hast doch
$\begin{eqnarray*} a_k = \frac{(-1)^{k}}{(1+a)^{k+1}}*(x-a)^{k} \end{eqnarray*}$
Jetzt schreib mal hin, was $\begin{eqnarray*} \mid \frac{a_{k+1}}{a_k} \mid \end{eqnarray*}$ ist.

ACHTUNG: (x-a)^k gehört nicht zu a_k!!!!!!!!!!!

18.02.2006, 19:48

k_wolt

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aha, ich danke dir, also ist es vielleicht so?
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{1+a} \end{eqnarray*}$

18.02.2006, 19:59

zeta

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ACHTUNG: ist a_k ungleich null für fast alle k, so gilt im falle der konvergenz

$\begin{eqnarray*} KonRad = \lim_{k\to\infty} \left| \frac{a_k}{a_{k+1}} \right| \end{eqnarray*}$
Das darf man nicht mit lim abs(a_k+1/a_k) aus dem Quotientenkriterium verwechseln!!!!

18.02.2006, 20:12

k_wolt

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demzufolge ist es dann wohl -1?

18.02.2006, 20:24

Mathespezialschüler

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Standen da oben nicht irgendwo Beträge in der Formel!!!?

Gruß MSS

18.02.2006, 20:50

k_wolt

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da hätte ich das jetzt wohl verstanden, ich danke euch viel mals

21.02.2006, 12:40

antykoerpa

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Da ich ja auch gerade mit Reihen und deren Konvergenzbereichen beschäftige(n) (muss),
hab ich mir diesen Thread mal angeschaut.

Bis hier hin kann ich folgen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~\frac{(-1)^n}{(1+a)^{(n+1)}} \cdot (x-a)^n \end{eqnarray*}$

Dass der Konvergenzradius sich nach $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \mid \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \mid \end{eqnarray*}$ berechnet ist mir auch klar. Wenn ich den Radius dann nach diesem Weg berechne komme ich hierauf:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n (1+a)^{n+2}}{(-1)^{n+1} (1+a)^{n+1}} = \lim_{n \to \infty}~ \frac{(1+a)}{(-1)^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Leider bin ich hier dann mit meinem Latein am Ende. Wie könnte ich weiter machen um an den Radius zu kommen?

21.02.2006, 13:04

klarsoweit

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Du solltest im Grenzwert noch den Betrag nehmen.

21.02.2006, 13:27

antykoerpa

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Selbst wenn ich die Betragsstriche einsetze:

Zitat:

Original von antykoerpa
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~ \mid \frac{(1+a)}{(-1)^{n+1}} \mid \end{eqnarray*}$

Ok... Wenn ich n nun gegen unendlich laufen lasse, dann steht im Nenner eine 1, das heisst doch dann dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~ \mid \frac{(1+a)}{(-1)^{n+1}} \mid = (1 + a) \end{eqnarray*}$ ist. Ist das korrekt?

21.02.2006, 13:33

klarsoweit

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Ja.

22.02.2006, 15:34

zeta

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@antykoerpa: dein beitrag "gestern 12:40": da kürzt sich das n aus dem nenner! (-1)^n / (-1)^{n+1} = 1/-1=-1. Dann ist keine abhängigkeit mehr vom lim-index, und damit müssen die betragsstriche im endergbenis auch noch stehen!!! ansonsten würde (-1)^n für n gegen unendlich nicht gegen 1 konvergieren, sondern divergieren!!!

28.02.2006, 09:04

antykoerpa

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Hallo Zeta,
leider habe ich deinen letzten Post erst heute gelesen. :/
Das sich das n herauskürzt sehe ich ein. Kannst Du mir vielleicht nochmal ausführlicher erklären wo dann das problem liegt? Ok, in dem Fall wäre nichts mehr vom Limes-Index abhängig, aber warum genau muss ich dann die Betragsstriche auch im Ergebnis setzen?
Danke Wink

Wink

28.02.2006, 09:08

phi

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moin,

weil (-1)^n zwei Häufungspunkte hat, also auf ewig zwischen -1 und +1 oszilliert.

mfg

28.02.2006, 16:35

antykoerpa

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Danke Phi!

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