Frage zu Additionstheorem Sinus

02.06.2008, 15:24

noob

Frage zu Additionstheorem Sinus

Hallo,

ich habe eine Frage zu einem Additionstheorem:

$\begin{eqnarray*} \sin(\alpha) - \sin(\beta) = 2 \cos(\frac{\alpha + \beta}{2}) \cdot \sin(\frac{\alpha - \beta}{2}) \end{eqnarray*}$

So weit okay, aber wie berechne ich nun eine Subtraktion zweier Sinus, wenn ich noch Argumente vor dem Sinus stehen habe?

Konkret:

$\begin{eqnarray*} \omega ^{2} A \sin(\alpha) - A \omega ^{2} \sin(\beta) = \dots ~ ? \end{eqnarray*}$

Danke smile

Grüsse

02.06.2008, 15:25

Dual Space

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RE: Frage zu Additionstheorem Sinus
$\begin{eqnarray*} \omega^{2} A \sin(\alpha) - A \omega^{2} \sin(\beta) = A\omega^2(\sin(\alpha)-\sin(\beta)) \end{eqnarray*}$

02.06.2008, 15:30

noob

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RE: Frage zu Additionstheorem Sinus

Zitat:

Original von Dual Space
$\begin{eqnarray*} \omega^{2} A \sin(\alpha) - A \omega^{2} \sin(\beta) = A\omega^2(\sin(\alpha)-\sin(\beta)) \end{eqnarray*}$

Danke

http://cosgan.de/images/more/schilder/019.gif

Die nächste Frage wäre:

Wie kann man das beweisen, oder zeigen? Wie beweist man eigentlich überhaupt diese Theoreme?

Grüsse smile

02.06.2008, 15:33

Dual Space

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RE: Frage zu Additionstheorem Sinus
Du willst also folgende Gleichheit beweisen?

Zitat:

Original von fit_for_fun
$\begin{eqnarray*} \sin(\alpha) - \sin(\beta) = 2 \cos(\frac{\alpha + \beta}{2}) \cdot \sin(\frac{\alpha - \beta}{2}) \end{eqnarray*}$

02.06.2008, 15:34

noob

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RE: Frage zu Additionstheorem Sinus

Zitat:

Original von Dual Space
Du willst also folgende Gleichheit beweisen?

Zitat:

Original von fit_for_fun
$\begin{eqnarray*} \sin(\alpha) - \sin(\beta) = 2 \cos(\frac{\alpha + \beta}{2}) \cdot \sin(\frac{\alpha - \beta}{2}) \end{eqnarray*}$

Ja, bzw. was heisst will. Es würde mich interessieren, weshalb das so ist. An sich ist es denke ich immer besser zu verstehen, als blind der Formelsammlung zu glauben smile

Gruß

02.06.2008, 15:36

Dual Space

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RE: Frage zu Additionstheorem Sinus
Ich selber kenne den Beweis nicht, d.h. ich kann mich nicht erinnern wie er funktioniert. Wie so oft bei Additionstheoremen wird er aber nicht sehr einfach sein und einen Haufen anderer Additionstheoreme verwenden.

02.06.2008, 17:53

noob

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RE: Frage zu Additionstheorem Sinus
Okay,

noch eine Frage zu:

Zitat:

Original von Dual Space
$\begin{eqnarray*} \omega^{2} A \sin(\alpha) - A \omega^{2} \sin(\beta) = A\omega^2(\sin(\alpha)-\sin(\beta)) \end{eqnarray*}$

Wie würde das aussehen, wenn ich verschiedene Vorterme hätte? hier haben die beiden Sinusterme ja die gleichen Vorterme.

Sprich, wie würde das beispielsweise dann aussehen?

$\begin{eqnarray*} \omega^{2} A \sin(\alpha) - T \epsilon^{2} \sin(\beta) \end{eqnarray*}$

Grüsse

02.06.2008, 18:03

Airblader

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Wer ganz frech ist, nimmt für den Beweis

$\begin{eqnarray*} \cos x - \cos y = -2\sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} \sin \left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = \cos \alpha \end{eqnarray*}$ ist Augenzwinkern

@fit_for_fun

In dem Fall hast du ggf. einfach Pech gehabt Augenzwinkern

air

02.06.2008, 18:21

noob

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Zitat:

Original von Airblader

@fit_for_fun

In dem Fall hast du ggf. einfach Pech gehabt Augenzwinkern

air

Wovon redest du? Wobei habe ich Pech gehabt?

@Topic:

Wie wird diese allgemeine Form behandelt? Gerade mit verschiedenen Vortermen. Im Bronstein steht leider nur die Grundform drinnen und andere Formelsammlungen habe ich dazu nicht unglücklich

Grüsse

02.06.2008, 18:26

Airblader

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Bei verschiedenen Koeffizienten hast du "einfach Pech gehabt".
Ich sehe da keine Möglichkeit.

air

02.06.2008, 18:28

noob

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Zitat:

Original von Airblader
Bei verschiedenen Koeffizienten hast du "einfach Pech gehabt".
Ich sehe da keine Möglichkeit.

air

Da muss es aber etwas geben. In der Physik gibt es viele Beispiele, wo man genau solch obigen Ausdruck mit verschiedenen Vortermen hat und alle werden weiter vereinfacht...

02.06.2008, 18:57

Airblader

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Mal in 3 Teilen Augenzwinkern

1) Dann schau dir diese Beispiele doch an. Vielleicht findest du ja was?

2) Vielleicht benutzen die, wie so oft, einfach Näherungen, z.B. $\begin{eqnarray*} \alpha \ll 20° \Rightarrow \sin \alpha \approx 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \alpha \approx 30° \Rightarrow \sin \alpha \approx \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ o.ä.

3) Nur, weil es ähnliche Beispiele gibt, in denen das geht, muss das hier noch lange nicht gelten. Evtl. besteht zwischen den Koeffizienten ja auch ein gewisser Zusammenhang o.ä.

air

02.06.2008, 19:04

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Ich stelle jetzt mal die (gewagte?) These auf, dass man alle Additionstheoreme durch leichte Transformationen (a la Airblader) aus dem einen Theorem

$\begin{eqnarray*} \sin(u+v) = \sin(u)\cos(v)+\cos(u)\sin(v)\qquad (*) \end{eqnarray*}$

sowie Grundeigenschaften wie Symmetrie und Periodizität der Winkelfunktionen herleiten kann. Das vorliegende z.B., indem man (*) einmal für $\begin{eqnarray*} u=\frac{\alpha+\beta}{2},v=\frac{\alpha-\beta}{2} \end{eqnarray*}$ und dann nochmal für $\begin{eqnarray*} u=\frac{\alpha+\beta}{2},v=-\frac{\alpha-\beta}{2} \end{eqnarray*}$ anwendet und beides voneinander subtrahiert.

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