differenzierbarkeit

02.06.2008, 19:12

xole_X

differenzierbarkeit

Hallo,
es geht um die angehängte Funktion.

Angenommen, f wäare in (0, 0) differenzierbar. Stellen Sie die Jacobi-Matrix auf und berechnen Sie die Funktion r : R² --> R aus der Gleichung :
$\begin{eqnarray*} F(x_0+h) = F(x_0)+Ah+||h||r(h) \end{eqnarray*}$
(r(0) nicht berechnen).

Die Jakobimatrix sieht bei mir folgendermaßen aus:

$\begin{eqnarray*} J_f(x,y)= \begin{pmatrix} \frac{2xy^3}{(x^2+y^2)^2} & \frac{x^2(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das richtig sehe, ist das A in der Gleichung mein J und ich muss die Gleichung nach r umformen?

$\begin{eqnarray*} r(h) =\frac{ F(x_0+h)-F(x_0)-Ah}{||h||} \end{eqnarray*}$

was genau ist aber dieses r und was ist mein h?

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)

03.06.2008, 10:31

klarsoweit

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RE: differenzierbarkeit
Vielleicht holen wir mal etwas weiter aus. Bei Funktionen, die als Urbild den R^n mit n >= 2 haben, funktioniert die
bekannte mit Methode mit dem Grenzwert des Differenzenquotienten nicht mehr:

$\begin{eqnarray*} f'(x_0) := \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$

h wäre da ja ein Vektor und durch diesen kann man schlecht dividieren.

Man muß also etwas anders vorgehen. Dazu schreibt man die Funktion F(x) in eine Funktion G(h) um,
wobei x = x_0 + h und x_0 die zu untersuchende Stelle ist.

Wir haben also: G(h) := F(x_0 + h)

Nun schauen wir, ob es eine lineare Funktion L (h --> A*h) und eine "Restfunktion" r gibt, mit folgenden Eigenschaften:

a) $\begin{eqnarray*} \lim_{||h|| \to 0} ||r(h)|| = 0 \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} G(h) = F(x_0) + A \cdot h + ||h|| \cdot r(h) \end{eqnarray*}$

Wenn das der Fall ist, nennt man F differenzierbar an der Stelle x_0. Die Matrix A nennt man Jacobi-Matrix.

Prinzipiell kann man die "Restfunktion" r erhalten, indem man die Gleichung b nach r(h) umstellt:

$\begin{eqnarray*} r(h) = \frac{G(h) - F(x_0) - A \cdot h}{||h||} = \frac{F(x_0 + h) - F(x_0) - A \cdot h}{||h||} \end{eqnarray*}$

Wenn man das für das eindimensionale Beispiel F(x) = x² und x_0 = 3 betrachtet, so kann man das r(h) leicht auch bestimmen:

$\begin{eqnarray*} G(h) = F(3+h) = (3+h)^2 = 9 + 6h + h^2 = F(3) + 6 \cdot h + |h| \cdot |h| \end{eqnarray*}$

Wir finden damit die lineare Funktion L mit h --> 6*h und r(h) = |h|.

Ich hoffe, daß die Sache damit etwas klarer wird.

03.06.2008, 13:21

xole_X

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RE: differenzierbarkeit

Zitat:

Original von klarsoweit
$\begin{eqnarray*} r(h) = \frac{G(h) - F(x_0) - A \cdot h}{||h||} = \frac{F(x_0 + h) - F(x_0) - A \cdot h}{||h||} \end{eqnarray*}$

Wenn man das für das eindimensionale Beispiel F(x) = x² und x_0 = 3 betrachtet, so kann man das r(h) leicht auch bestimmen:

$\begin{eqnarray*} G(h) = F(3+h) = (3+h)^2 = 9 + 6h + h^2 = F(3) + 6 \cdot h + |h| \cdot |h| \end{eqnarray*}$

Wir finden damit die lineare Funktion L mit h --> 6*h und r(h) = |h|.

zuerst mal danke für dein beispiel Big Laugh

bei dem letzten Schritt bist du doch so vorgegangen:

$\begin{eqnarray*} r(h) = \frac{G(h) - F(x_0) - A \cdot h}{||h||} = \frac{F(3) + 6 \cdot h + |h| \cdot |h| - F(3) - (2*x) \cdot h}{||h||} = \frac {6 \cdot h + |h| \cdot |h| - (2x) \cdot h}{||h||} \end{eqnarray*}$

hab dazu zwei fragen.
1) Muss man in die Jakobimatrix auch x_0 einsetzen, weil sonst komme ich nicht auf r(h) = |h|
2) was ist der unterschied zwischen |h| und ||h||

Und zu meiner Aufgabe: mein x_0 ist doch (0,0)
für F(x_0 +h) muss ich da F(0+h,0) oder F(0+h,0+h) einsetzen?

$\begin{eqnarray*} r(h) = \frac{F(x_0 + h) - F(x_0) - A \cdot h}{||h||} \end{eqnarray*}$ mit x_0 = (0,0) folgt

$\begin{eqnarray*} r(h) = \frac{F(0 + h_1, 0+h_2) - F(0,0) -0\cdot h}{||h||} = \frac{F(h)}{||h||} \end{eqnarray*}$

03.06.2008, 14:03

klarsoweit

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RE: differenzierbarkeit

Zitat:

Original von xole_X
1) Muss man in die Jakobimatrix auch x_0 einsetzen, weil sonst komme ich nicht auf r(h) = |h|

Ja.

Zitat:

Original von xole_X
2) was ist der unterschied zwischen |h| und ||h||

||.|| ist eine Norm auf dem entsprechenden Vektorraum, z.B. die euklidische Norm. |.| ist die normale (Betrags-)Norm auf den reellen Zahlen.

Zitat:

Original von xole_X
Und zu meiner Aufgabe: mein x_0 ist doch (0,0)

Ja.

Zitat:

Original von xole_X
für F(x_0 +h) muss ich da F(0+h,0) oder F(0+h,0+h) einsetzen?

Du mußt nur für x_0 (0,0) einsetzen. h ist ein Vektor. Da kann man nicht (0,0) + h = (0+h,0+h) rechnen. Da müßtest du schon h in seine Komponenten zerlegen.

Zitat:

Original von xole_X
$\begin{eqnarray*} r(h) = \frac{F(0 + h_1, 0+h_2) - F(0,0) -0\cdot h}{||h||} = \frac{F(h)}{||h||} \end{eqnarray*}$

A ist die Jacobi-Matrix. Die kannst du nicht durch die Zahl 0 ersetzen.

03.06.2008, 14:47

xole_X

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RE: differenzierbarkeit

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von xole_X
für F(x_0 +h) muss ich da F(0+h,0) oder F(0+h,0+h) einsetzen?

Du mußt nur für x_0 (0,0) einsetzen. h ist ein Vektor. Da kann man nicht (0,0) + h = (0+h,0+h) rechnen. Da müßtest du schon h in seine Komponenten zerlegen.

Zitat:

Original von xole_X
$\begin{eqnarray*} r(h) = \frac{F(0 + h_1, 0+h_2) - F(0,0) -0\cdot h}{||h||} = \frac{F(h)}{||h||} \end{eqnarray*}$

A ist die Jacobi-Matrix. Die kannst du nicht durch die Zahl 0 ersetzen.

ok hier hab ich ja h in die komponenten zerlegt:
$\begin{eqnarray*} r(h) = \frac{F(0 + h_1, 0+h_2) - F(0,0) -0\cdot h}{||h||} = \frac{F(h)}{||h||} \end{eqnarray*}$

habs wahrscheinlich falsch aufgeschrieben, aber ich wollte net A durch 0 erstetze,sonder 0,0 in A einsetzen, weiss aber nicht ob das das überhaupt zulässig ist: weil ich hätte dann ja eine Matrix mit
$\begin{eqnarray*} A=J_f(0,0)= \begin{pmatrix} \frac{0}{0} & \frac{0}{0} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
wobei die Jakobimatrix an der Stelle 0,0 wär doch $\begin{eqnarray*} A=J_f(0,0)= \begin{pmatrix} 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

03.06.2008, 22:41

threadersteller

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was mach ich nun mit meinem r(h)?

04.06.2008, 08:16

klarsoweit

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RE: differenzierbarkeit

Zitat:

Original von xole_X
wobei die Jakobimatrix an der Stelle 0,0 wär doch $\begin{eqnarray*} A=J_f(0,0)= \begin{pmatrix} 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So ist es. Die muß für x=y=0 separat berechnet werden. Du kannst nicht in die Jacobi-Matrix für x und y ungleich Null dann einfach x=y=0 einsetzen. Das führt zu den Ausdrücken 0/0, die nicht definiert sind.

05.06.2008, 22:59

xole_X

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muss man die Funktion
r(h ) = F(h)/||h|| noch weiter betrachten, oder bin ich damit quasi fertig?

ich soll auch noch zeigen, dass folgendes NICHT gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} r(h) = 0 \end{eqnarray*}$

Ich hab mir dir das folgendermaßen überlegt:

$\begin{eqnarray*} r(h) = \frac{h_1^2*h_2}{h_1^2+h_2^2} * \frac{1}{\sqrt{h_1^2+h_2^2} } \end{eqnarray*}$

wenn ich sage:
$\begin{eqnarray*} \vec{h} = \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann folgt daraus

$\begin{eqnarray*} r(h) = \frac{\alpha^3}{2*\alpha^2} * \frac{1}{\alpha\sqrt{2} } = \frac{1}{2\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \neq 0 \end{eqnarray*}$

06.06.2008, 08:42

klarsoweit

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Das ist ok.

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