Gleichung mittels Fixpunkt-Iteration lösen

19.02.2006, 02:40

psyhro

Gleichung mittels Fixpunkt-Iteration lösen

moin moin .
ich habe hier 2 Aufgaben die ich nach x lösen und dabei die Fixpunkt Iteration benutzen soll:

1. x*ln(x) = 50
2. $\begin{eqnarray*} \sqrt[2]{x^2+1} = ln(x) \end{eqnarray*}$

also mein ansatz ist erstmal wie gehabt:
1.
x*ln(x) = 50 | e^hoch
x^x = e^50
so weiter bin ich nicht gekommen^^

habe mich mal über die fixpunkt-iteration erkundigt und habe aus den allgemeinen Definitionen nichts schließen können, habe keine beispielaufgabe gefunden und habe sozusagen null ahnung was ich machen soll.

und warum kann ich nicht einfach
x*ln(x) = 50
x = 50 und ln(x) = 50 => x = e^50 schreiben ?

hoffe ich bekomme hier einen Denkanstoss.

mfg
psyhro

19.02.2006, 03:08

JochenX

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RE: Gleichung mittels Fixpunkt-Iteration lösen

Zitat:

Original von psyhro
und warum kann ich nicht einfach
x*ln(x) = 50
x = 50 und ln(x) = 50 => x = e^50 schreiben ?

das überlegst du dir bitte morgen nochmal in aller ruhe,warum das nicht geht
das ist ziemlicher stuss, der vermutlich nur aus müdigkeit entstanden ist

als iterationsverfahren könntest du z.b. das newtonverfahren nehmen......
http://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren

19.02.2006, 12:25

psyhro

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hi nochmal

http://upload.wikimedia.org/math/1/5/3/153c973923afc2788d5aa79a49abe299.png
also kann ich blind diese formel anwenden?

für 50 = x*ln(x), also

f(x) = x*ln(x)-50
f'(x) = ln(x) +1
einsetzen in Formel, wobei x[n] frei wählbar ist ??
also x[n] = 0.5

, dann tippe ich das schön in den Taschenrechner ein und bekomme
x[n+1] = 1,629
x[n+2] = 1,095
x[n+3] = 1,00
...
heraus.

also ist x nährungsweise 1

19.02.2006, 12:40

psyhro

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bei der 2ten bin ich genauso vorgegangen.
es kam bei x[n+3] eine negative Zahl heraus und der Definitionsbereich ist ja R=R+\{0} , wegen ln(x)
, also gibt es keine nullstelle ??

hoffe jmd kennt die antwort,

mfg
psyhro

19.02.2006, 14:06

JochenX

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für gewöhnlich beginnt man mit x0, nicht mit xn Augenzwinkern

[formsache]

deine rechenschritte kann ich grad nicht nachvollziehen, insbesondere ist dein startwert aber glaube ich auch schlecht gewählt

woher schließt du eigentlich pltzlich darauf, dass 1 näheungslösung sein soll!?

merke dir allgemein, dass du den startwert nicht beliebig wählen kannst, jenseits von extrema sollte er z.b. nicht sein, da das iterationsverfahren diese nicht überwinden kann.
bestimme mit dem TR oder dem plotter grob die nullstelle und wähle einen startwert in der nähe.

z.b. x0=15

19.02.2006, 15:06

papahuhn

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Um mal zur Fragestellung der Fixpunktiteration zurückkommen:
Erstmal musst du eine geeignete Funktion finden, die den Kriterien des Banachschen Fixpunktsatzes genügt. Das sind Selbstabbildung und Kontraktivität. Durch Ausprobieren stellt man fest, dass die Lösung zwischen 17 und 18 liegt.

Als Fixpunktfunktion für die erste Aufgabe schlage ich dir $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{50}{ln(x)} \end{eqnarray*}$ vor.

19.02.2006, 15:53

psyhro

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jo, ich glaube ich habe es geschnallt.

also für die 1. liegt die Nullstelle bei ~17,5

so eine Fixpunktfunktion ist schon was feines!
ich hatte noch eine andere Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} ln(x) = \sqrt[2]{x+1}-5 \end{eqnarray*}$

habe dann die Fixpunktfunktion gebildet :
$\begin{eqnarray*} f(x) = (ln(x))^2 + 10*ln(x)+24 \end{eqnarray*}$
also einfach in die Form x = ... gebracht. Ich hoffe das kann ich bei allen machen.
und dann kam die Nullstelle bei ~89 heraus.
Ich habe auch mal die Funktion zeichnen lassen und es stimmt !! Prost

bei der 2., habe ich mal die Funktion gezeichnet und ich habe im Intervall [-100000,100000] keine Nullstelle entdeckt ^^, also ist da irgendwo ein hacken an der Sache. habe mal die Fixpunktfunktion gebildet und es kam das dabei raus:
$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{(ln(x))^2 -1} \end{eqnarray*}$

mfg
psyhro und danke für die Hilfe

(wenn ich doch etwas falsch verstanden habe, bitte ich um aufklärung)

19.02.2006, 16:23

papahuhn

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Du kannst nicht einfach so drauflos iterieren. Erstmal ist Quadieren keine Äquivalenzumformung. Probe machen geht auch schlecht, denn meistens sind die Lösungen eines solchen Problems irrational. Du kämst zwar nah dran, aber eine richtige Probe wäre das nicht.

Zitat:

also einfach in die Form x = ... gebracht. Ich hoffe das kann ich bei allen machen.

Das kannst du auf keinen Fall immer so machen. Hier hast du einfach Glück gehabt.

Ich habe dir bewußt $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{50}{ln(x)} \end{eqnarray*}$ vorgeschlagen und nicht etwa $\begin{eqnarray*} f(x) = x*ln(x) +x - 50 \end{eqnarray*}$ . Du musst unbedingt die Kriterien nachprüfen.

$\begin{eqnarray*} ln(x) = \sqrt{x+1} - 5 \end{eqnarray*}$ hat laut Plotter übrigens zwei Lösungen. Für die zweite brauchst du eine andere Iterationsvorschrift.

Für $\begin{eqnarray*} ln(x) = \sqrt{x²+1} \end{eqnarray*}$ wird es in der Tat keine Lösungen geben.

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