Vollständige Induktion Erklärung - Seite 2

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klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Im nächsten Schritt (eben dem Induktionsschritt) wird vorausgesetzt, daß die Behauptung für ein beliebiges, aber festes n0 (ich schreibe mal n0, um das von dem allgemeinen n abzugrenzen) gilt. In diesem Fall nehmen wir also an, daß eine Primzahl ist. Dann schauen wir uns die Behauptung für die nächste Zahl, also n0 + 1 an. Das wäre also:
ist eine Primzahl.
Das müßtest du nun beweisen. Nur bekommst du das nicht hin, auch wenn du verwenden darfst, das eine Primzahl ist. Natürlich gibt es die eine oder andere konkrete Zahl, wofür das stimmt. Aber ein paar Glückstreffer helfen nicht. Denn n0 steht für irgendeine beliebige Zahl.

Hast du das gelesen?
Heidi_L Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber nicht verstanden.

Ich habe jetzt so viel Erklärungen gelesen das ich gar nicht mehr durchblicke. n, n0 n(0)..... *seufz*

Vielleicht mal ein komplett neues, anderes Beispiel wäre besser.

Ich glaube, ich gebe auf.

Danke für Eure Gedult und Mühe.

Liebe Grüße
Heidi
freetgy Auf diesen Beitrag antworten »

dieses beispiel schon angekuckt?
Vollständige Induktion
ErwinO Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Da obiges als wahr angenommen wird (was nicht sein muss!)
müsste dann aber auch gelten A(n+1) muss dann auch wahr sein:

Es wird was angenommen, was nicht sein muss.... Klasse das hilft.

Stell Dir mal eine LampenKette vor. Die sind alle in Reihe geschaltet.
Also, wenn die erste Lampe brennt, das brennt auch die zweite.
Wenn die zweite brennt, dann brennt auch die dritte. Usw.

Das ist ähnlich dem Dominostein-Effekt.

So, nun bin ich mal am überlegen, was es für ein alternatives Beispiel für Dein Primzahlen-Beispiel gibt, um das vielleicht mal bildlich zu erklären.
Bei uns gab es dazu kein Beispiel, nur was mit den Socken..... Aber das war Mist...

Halt durch, das schaffst Du!!!

Gruß
Erwin
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Heidi_L
Zitat:

Den Anfang mit n=1 macht man nur um zu gucken ob die Behauptung überhaupt gelten kann.

Das wurde doch bei dem Primzahlenbeispiel gemacht.

Und wie geht es jetzt weiter?
Ich denke, hier ist genau mein Verständnisproblem.


Dann geht es beim Primzahlenbeispiel nicht weiter, eben weil sich dieses Beispiel nicht per vollständiger Induktion beweisen lässt!
Heidi_L Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Ben,

ich bin Dir und Euch allen, die hier das Beste geben echt sehr dankbar.

Ich glaube, langsam habe ich es.

Ben, wie "müsste" es den aussehen, damit es richtig wäre?

Ich denke, das ich genau mein Verständnisproblem, das ich das nicht erkenne, warum das nicht funktioniert.
Wissen tue ich es schon, aber nicht: Warum?

Liebe Grüße
Heidi
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Ich starte nochmal einen Versuch:

Nehmen wir das klassische Beispiel:


Induktionsanfang n=1:

Das stimmt. Bildlich gesprochen: der 1. Dominostein fällt um.

Induktionsschritt:
Zu zeigen ist: Wenn die Behauptung für ein n aus N gilt, dann gilt sie auch für die nachfolgende Zahl n+1.
Also schreiben wir mal die linke Seite der Behauptung für n+1 hin und ziehen den letzten Summanden aus der Summenformel raus:

(I)
Jetzt nehmen wir ja an, daß die Behauptung für ein n aus N gilt, daß also ist.
Bildlich gesprochen: wir nehmen an, daß der n-te Dominostein umfällt.
Nun setzen wir das in (I) ein und erhalten:




Zusammengefaßt ist alsO:

Und das ist die Behauptung, wenn man für n den Term n+1 einsetzt.

Also ist gezeigt: Wenn die Behauptung für ein n aus N gilt, dann gilt sie auch für den Nachfolger n+1.
Oder bildlich gesprochen: wenn der n-te Dominostein umfällt, dann fällt auch der nächste Dominostein um.
Wohl gemerkt: momentan wissen wir noch nicht, daß die Dominosteine umfallen. Wir haben aber folgenden Zwischenstand erreicht:

1. der 1. Dominostein fällt um. (Induktionsanfang)
2. wenn ein Dominostein umfällt, dann fällt auch der nächste Dominostein um. (Induktionsschritt)

Jetzt kommt der Induktionsschluß:
Der 1. Dominostein fällt um, also fällt auch 2. (= der nächste) Dominostein um.
Da nun der 2. Dominostein umfällt, fällt auch 3. (= der nächste) Dominostein um.
Und so weiter. Auf diese Weise kann jede beliebige Zahl n erreicht werden.
Heidi_L Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo klarsoweit,

danke. Diese Aufgabe habe ich verstanden. Die hat auch unser Lehrer erklärt.

Aber wie sieht das ganze bei dem Primzahlenbeispiel aus?

Der Induktionsanfang würde funktionieren, aber ab dem Induktionsschritt gibt es ein Problem. Richtig?
Ich kann zwar die Formel n+1 bei den n einsetzen, was zwar auch eine richtige Formel ergibt, aber dann kommt das Problem. Richtig?

Gruß
Heidi
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Heidi_L
Der Induktionsanfang würde funktionieren, aber ab dem Induktionsschritt gibt es ein Problem. Richtig?

Richtig.

Zitat:
Original von Heidi_L
Ich kann zwar die Formel n+1 bei den n einsetzen, was zwar auch eine richtige Formel ergibt, aber dann kommt das Problem. Richtig?

Im Prinzip richtig. Der Ausdruck "richtige Formel" ist aber mißverständlich. Setzen wir mal das n+1 in die Primzahlformel (das hatte ich weiter oben schon mal gemacht), dann erhalten wir die Formel .
Aber ob die Formel wahr ist im Sinne von ergibt eine Primzahl, ist unklar. Weil es sich um den Induktionsschritt handelt, darf man zwar verwenden bzw. annehmen, daß eine Primzahl ist. Aber das hilft einem nicht. Man kann eben daraus nicht folgern, daß dann auch eine Primzahl ist. Und wie du weißt, gibt es auch eine konkrete Zahl, die in eingesetzt eine Primzahl liefert, aber in eingesetzt keine Primzahl mehr liefert. Und weil das so ist, kann man tagelang über den Induktionsschritt brüten. Es wird nicht gelingen.
Heidi_L Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
[
Zitat:
Original von Heidi_L
Ich kann zwar die Formel n+1 bei den n einsetzen, was zwar auch eine richtige Formel ergibt, aber dann kommt das Problem. Richtig?

Im Prinzip richtig. Der Ausdruck "richtige Formel" ist aber mißverständlich. Setzen wir mal das n+1 in die Primzahlformel (das hatte ich weiter oben schon mal gemacht), dann erhalten wir die Formel .
Aber ob die Formel wahr ist im Sinne von ergibt eine Primzahl, ist unklar. Weil es sich um den Induktionsschritt handelt, darf man zwar verwenden bzw. annehmen, daß eine Primzahl ist. Aber das hilft einem nicht. Man kann eben daraus nicht folgern, daß dann auch eine Primzahl ist. Und wie du weißt, gibt es auch eine konkrete Zahl, die in eingesetzt eine Primzahl liefert, aber in eingesetzt keine Primzahl mehr liefert. Und weil das so ist, kann man tagelang über den Induktionsschritt brüten. Es wird nicht gelingen.

AAAAAAAAAAAAAAA!!!!!!!!!! Jetzt ja.
Oh man:
Ich habe zwar n+1 eingesetzt aber nichts weiter mit der Formel gemacht.
Hammer

Super, danke!!!
Gott

Das muss ich jetzt mal in aller Ruhe verdauen.

Liebe Grüße
Heidi
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Hab mir auch bei dieser Erklärung von klarsoweit gedacht:"Jetzt ist es so weit." Augenzwinkern

Find's aber gut, dass du so hartnäckig bist, Heidi Freude
Heidi_L Auf diesen Beitrag antworten »

Bin Euch echt dankbar.

Mein Lehrer hat leider immer nur Schema F drauf und mehr kann er nicht erklären.
Ich weiß allerdings aus eigener Erfahrung, das wenn man was gleich kapiert hat, es schwierig ist, ein Problem zu erklären. Geht mir oft genug eigentlich auch so. Aber durch mein eigenenes lernen habe ich jetzt mehr Gedult!!!

Man das tut soooooo gut, wenn man was endlich verstanden hat.
Tanzen Tanzen Tanzen Tanzen

Klasse. Echt.
zeta Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, da gratuliere ich herzlich.
Du hast recht, es ist erleichternd, wenn etwas verstanden wird (von dem man dachte, man hätte es bereits zig mal erklärt, vgl. die ersten drei seiten des freds).
Und jetzt, wo du es hasts, lies doch noch mal alles durch. im nachhinein (aber in der mathe oft leider nur hier) ist es irgendwie klar, oder (mein post vom 19.2.06, 19:14 Uhr ist doch ein ganz hübscher unter vielen, nicht wahr)?
Augenzwinkern Rock Prost
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