Vollständige Induktion Erklärung

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Heidi_L Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion Erklärung
Hallo,

bin am verzweifeln bei der Vollständigen Induktion.

Ich dachte, das Prinzip verstanden zu haben.
Der Aufbau ist ja immer gleich.
Dann gilt es immer eine nachfolgende Zahl (n + 1) zu beweisen.
Soweit so gut.

Unser Lehrer hat auch ein anfängliches Beispiel gebracht.
Das hat mit den ersten Zahlen auch funktioniert.
Wir hatten weiter gerechnet und bei einer höheren Zahl hat es
nicht mehr gestimmt. Er nannte das dann "unvollständige Induktion".

Er hat diese "unvollständige Induktion" genau so angefangen, wie
bei einem Beispiel der Gauschen Summenformel, die vollständige Induktion. Nur in diesem Beispiel haben wir nicht weiter gerechnet, wie im Beispiel der "unvollständigen Induktion".

Worin liegt der Denkfehler?

Ich schreib zwar erst am Freitag die Klausur, aber bis dahin möchte ich das verstanden haben.

Hier im Forum habe ich auch schon einige Beispiel gelesen, aber ich "erkenne" den Unterschied
der Unvollständigen- und Vollständigen Induktion nicht.

Wäre über Hilfe echt Dankbar.

Liebe Grüße
Heidi
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, bei einer "unvollständigen Induktion" müsstest du spätestens beim Induktionsschluss merken, dass dieser nicht möglich ist. Gib doch mal das Beispiel der "unvollständigen Induktion", dann sehen wir weiter.



Gruß, therisen
 
 
Heidi_L Auf diesen Beitrag antworten »

Beim Induktionsschluss klappt das auch bei den ersten drei Zahlen, aber soweit wird bei der Vollständigen Induktion ja gar nicht gegangen.
Es soll da ja Bewiesen werden, das das auch für n + 1 gilt.

Das Domino-Prinzip und die Idee, die dahinter steckt habe ich, glaube ich schon verstanden.

Aber es gibt bestimmt einige Beispiele, bei denen es bei den ersten Zahlen funktionieren, aber irgendwann nicht mehr, was ja dann keine "vollständige Induktion" mehr ist.

Woher weiß ich, das es bei der "vollständigen Induktion" nicht irgendwann auch passiert, da ich ja nur den "zweiten Stein" beweise?

Ein Beispiel ist z.B.
P(n) = n^2 + n + 41
Hier kommen Primzahlen raus. Zumindest, wenn man für n einsetzt: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Tja, aber sobald n = 40, dann stimmt das eben nicht mehr.

Liebe Grüße
Heidi
marci_ Auf diesen Beitrag antworten »

ja aber hier musst du doch auch einfach nur (n+1) für n einsetzten und dann merkst du, dass dein induktionsschluss nicht mit der behauptung übereinstimmt...damit ist bewiesen, dass es eben nicht gilt, oder?

(n+1)^2+(n+1)+41
n²+2n+1+n+1+41
n²+3n+43
zeta Auf diesen Beitrag antworten »

Habe ehrlich gesagt den Begriff der "Unvollständigen Induktion" noch nicht gehört. Und ich frage mich, wie die laufen soll.
Wie soll da ein Induktionsschluss hinhauen, der ja eben fallungebunden zeigt, dass, falls irgendein Dominostein fällt, dann auch dessen Nachfolger fällt. Bei einer Unvollständigen Induktion kann dieser Schluss doch grundsätzlich gar nicht klappen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Heidi_L
Ein Beispiel ist z.B.
P(n) = n^2 + n + 41
Hier kommen Primzahlen raus. Zumindest, wenn man für n einsetzt: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Tja, aber sobald n = 40, dann stimmt das eben nicht mehr.

Beim Induktionsschluß müßtest du jetzt folgendes zeigen können:
Angenommen es gilt P(n) = n^2 + n + 41 ist eine Primzahl, dann ist auch P(n+1) = n²+3n+43 eine Primzahl.
Dieser Beweis wird nicht gelingen. Und deshalb scheitert hier die vollständige Induktion.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zeta
Habe ehrlich gesagt den Begriff der "Unvollständigen Induktion" noch nicht gehört. Und ich frage mich, wie die laufen soll.
Wie soll da ein Induktionsschluss hinhauen, der ja eben fallungebunden zeigt, dass, falls irgendein Dominostein fällt, dann auch dessen Nachfolger fällt. Bei einer Unvollständigen Induktion kann dieser Schluss doch grundsätzlich gar nicht klappen?



Gar nicht Augenzwinkern Es wird ja auch gar nicht behauptet, dass diese "unvollständige Induktion" einen mathematisch korrekten Beweis liefert. Mit diesem (neu geschaffenen?) Begriff ist lediglich gemeint, dass eine falsche Aussage nicht durch Induktion bewiesen werden kann. Siehe Beispiel.



Gruß, therisen
Heii_L Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo therisen,

ja, genau. Die "unvollständige Induktion" ist nur eine Bezeichnung, um es zu benennen.

@klarsoweit
Also, wenn ich in die Formel n = 1 einsetze, dann kommt eine Primzahl raus.
Wenn ich für n (n + 1) einsetze, also 2, kommt auch eine Primzahl raus.
Dann müsste die Formel doch stimmen. Oder?
Tut sie aber nicht, denn wenn man bei n = 40 angelangt ist, dann kommt eben keine Primzahl mehr raus.

Puh, ist schon schwer zu erklären, was man nicht versteht. *seufz*

Hmm, ich versuche es nochmal anders.

Also, die vollständige Induktion ist ein Beweisverfahren, für natürliche Zahlen.

So, im Induktionsanfang wird eine "Behauptung" aufgestellt.
In der Induktionsvoraussetzung wird gezeigt, das die Behauptung auch für die nächste natürliche Zahl, n + 1, gilt.
Im Induktionsschluss wird durch einsetzen n +1 an alle n 's die Formeln entsprechen geändert und vereifacht, um zu
zeigen das das auch stimmt.
(Hoffe das so richtig geschrieben zu haben.)

Also, wenn gilt n+1, dann auch für alle weiteren, wie eben beim Dominoeffekt.

Nur sehe ich dem Primzahlen-Beispiel nicht, das bereits bei der nächsten natürlichen Zahl was nicht stimmt.
Schließlich stimmt es ja noch, wenn ich für n = 2 einsetze.

Gibt es vielleicht eine gute Website/Buch, in dem die Vollständig Induktion gut erklärt ist.
Vielleicht von anfang an, da ich vermute, das wir nicht bei a angefangen haben.

Werde am Mittwoch mal den Lehrer löchern.

Danke Euch, für Eure Hilfe.

Liebe Grüße
Heidi
zeta Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wenn ich für n (n + 1) einsetze, also 2, kommt auch eine Primzahl raus.
Dann müsste die Formel doch stimmen. Oder?


da liegt dein fehler: du musst für allgemeines n+1 zeigen, dass die aussage gilt, wenn sie für den allgemeinen vorgänger n gilt. du setzt aber ein explizites n+1, hier 2, ein. das ist keine induktion, denn wenn du etwas für alle natürlichen zahlen zeigen willst, hilft dir dein vorgehen nicht wirklich weiter: du müsstest dann auch 3, 4, 5 etc. zeigen!

du behauptest: n^2+n+41 ist prim.

Induktionsanfang: n=0 --> 0^2+0+41 = 41 ist prim: ok.
Induktionsvoraussetzung: Behauptung sei für beliebiges, aber festes n bewiesen.
Induktionsschluss: n-->n+1: (n+1)^2+(n+1)+41 = n^2+2n+1+n+1+41=n^2+n+41+2(n+1).
Nach Voraussetzung ist n^2+n+41 prim, aber daraus folgt NICHT, dass n^2+n+41+2(n+1) prim wäre, wie du mit einem gegenbeispiel zeigst (n=40 klappt ja nicht mehr).

NUR wenn folgen würde, dass mit n^2+n+41 auch n^2+n+41+2(n+1) prim wäre, hättest du eine VI. Da das aber nicht folgt, stimmt deine behauptung im allgemeinen nicht! (n=0,...39 sind also spezialfälle, aber vielleicht nicht die einzigen, könnte man mal prüfen).
Heidi_L Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

(n=40 klappt ja nicht mehr)

Genau, aber woher soll man das wissen, wenn man nur zeigt, das es auch für n+1 gilt?

Es macht doch keiner die weiteren Rechnungen? Oder etwa doch?

Darum geht es doch bei der vollständigen Induktion.
Man zeigt, das n wahr ist und dann das n+1 wahr ist(habe ich oben vielleicht blöd geschrieben). Denn dann gilt auch für alle weiteren natürlichen Zahlen, das die Behauptung wahr ist.

So habe ich das jedenfalls verstanden.

Liebe Grüße
Heidi
zeta Auf diesen Beitrag antworten »

warum die mathematik keine naturwissenschaft ist: weil alles falsch ist, solange es nicht bewiesen wurde. in den naturwissenschaften ist alles solange richtig, bis es widerlegt wird.

es reicht nicht, für ein explizites n etwas zu zeigen und dann für den expliziten nachfolger n+1, sondern das muss allgemein gelten.

Beispiel der Gaußschen Summenformel:

Behauptung: summe(k=1...n) k = n(n+1)/2.

Induktionsanfang: n=1: summe(1...1)k=1=1(1+1)/2: ok.

Induktionsvoraussetzung: Behauptung sei für BELIEBIGES, aber festes n bewiesen.

Induktionsschluss: n-->n+1: summe (1...n+1)k = summe(1..n)k + n+1 = (wegen Induktionsvoraussetzung!) n(n+1)/2 + n+1 = (blabla) (n+1)((n+1)+1)/2.
Unter der Gültigkeit für n gilt also allgemein, d.h. völlig unabhängig vom expliziten n, auch die aussage für den nachfolger.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Heidi_L
Man zeigt, das n wahr ist und dann das n+1 wahr ist


So ist das falsch. Kann es sein, dass hier dein Verständnisproblem liegt?
Man nimmt an, dass n wahr ist und zeigt, dass dann auch n+1 wahr ist.

Auf's Domino übertragen: Der Induktionsschluss sagt: Wenn Stein n fällt, dann schubst er auch Stein n+1 um so dass der auch fällt.
Beim Induktionsanfang schubst man dann den ersten Stein an. Und ab dann muss man nix mehr machen (keine weiteren Rechnungen), da ja der Dominoeffekt alle anderen Steine umwirft.

In deinem Beispiel mit den Primzahlen hast Steine nur einzeln nacheinander umgeworfen, diese standen aber zu weit auseinander und der Dominoeffekt greift nicht (da du den Induktionsschluss nicht richtig zeigen konntest).

Gruß vom Ben
Heidi_L Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Ben,

Hmm, da muss ich nochmal drüber nachdenken.
Habe ich mich jetzt so verhauen???? *grübbel*

Ich glaube, ich fange nochmal von vorne an zu lernen.
Wir hatten, wie ich finde ein blödes Beispiel als Einleitung bekommen.
Das allerdings nur mündlich, nichts wurde aufgeschrieben.

Und dann gleich, als ob alles klar wäre wurden dann zwei Beispiele an die Tafel geschrieben. Das war es. Nun halt jede Menge Hausaufgaben und bald die Klausur.

Wikipedia hatte ich schon aufgesucht, aber das hilft mir gar nicht weiter, was
der Unterschied zwischen einer vollständigen Induktion und "unvollständigen" Induktion ist.

Im Internet habe ich nur Beispielaufgaben gefunden, nicht wirklich gute Erklärungen mit Ansätzen.

Hier ist aber eine gute Beispielaufgabe ausführlich erklärt, vielleicht hilft die
einem weiter:
http://www.open-letters.de/open-letters/...ionsbeweise.pdf

Puh, dann gehe ich jetzt mal schlafen, vielleicht löst sich das Problem mal im Schlaf. ;-)

Dank' Euch für Eure Hilfe.

Liebe Grüße
Heidi
Heidi_L Auf diesen Beitrag antworten »
Noch was....
Hi,

habe gerade noch was gefunden, das mit den Primzahlen:
http://www.it-helpnet.de/Dokumente/Progr...mmierung.html#2
Unter 2.2 Gegenbeispiele -> Beispiel 1

Hier werden auch mehrere Folgen angegeben: 2, 3, 4,......
Aber soviel wird doch gar nicht durchgerechnet.

Oh man, ich schnall das einfach nicht.....*grummel*

Liebe Grüße
Heidi
HHH Auf diesen Beitrag antworten »

http://www.fundus.org/pdf.asp?ID=12171
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Noch was....
Zitat:
Original von Heidi_L
habe gerade noch was gefunden, das mit den Primzahlen:
http://www.it-helpnet.de/Dokumente/Progr...mmierung.html#2
Unter 2.2 Gegenbeispiele -> Beispiel 1

Hier werden auch mehrere Folgen angegeben: 2, 3, 4,......
Aber soviel wird doch gar nicht durchgerechnet.


Zitat:
Beispiel 1:
Wir betrachten den von Leonard Euler angegeben Term n² + n + 41. Setzen wir für n die Zahl 0 , so erhalten wir die Primzahl 41. Setzen wir n = 1 bekommen wir wieder eine Primzahl, und zwar die 43.
Lassen wir n ie Folge von 2, 3, 4, 5, ... durchlaufen, so erhalten wir die Primzahlen 47, 53, 61, 71, ...
Aufgrund dieses Ergebnisses könnten wir zu der Meinung gelangen, daß man stets eine Primzahl erhält, wenn man in den Eulerschen Term eine natürliche Zahl einsetzt.
Dies gilt in der Tat für alle n = 1, ..., 39 - leider jedoch nicht für n = 40; hier ergibt die zusammengesetzte Zahl 40² + 40 + 41 = 40² + 2 · 40 + 1 = 41², was auf keine Fall eine Primzahl sein kann.

Beim Induktionsbeweis sind sowohl der Inuktionsanfang als auch der Induktionsschritt wichtig. Läßt man einen davon weg funktioniert der Beweis nicht.


Der letzte Satz ist wichtig. Obwohl man denken könnte, dass diese Aussage gilt, ist sie nicht wahr (wie das Gegenbeispiel 40 zeigt). Da diese Aussage nicht wahr ist ist, lässt sie sich auch nicht per vollst. Induktion beweisen, denn man kann den Induktionsschritt nicht zeigen!

Nichts anderes soll dieses Beispiel aussagen.


edit (AD): Von HTML Copy+Paste ist gefährlich, was die mathematischen Symbole wie ² betrifft - korrigiert. Augenzwinkern
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Heii_L
So, im Induktionsanfang wird eine "Behauptung" aufgestellt.
In der Induktionsvoraussetzung wird gezeigt, das die Behauptung auch für die nächste natürliche Zahl, n + 1, gilt.
Im Induktionsschluss wird durch einsetzen n +1 an alle n 's die Formeln entsprechen geändert und vereifacht, um zu
zeigen das das auch stimmt.
(Hoffe das so richtig geschrieben zu haben.)

Also das ist alles etwas unsauber formuliert.
1. Im Induktionsanfang wird keine "Behauptung" aufgestellt. Die Behauptung (z.B. ) wird vorher aufgestellt.
2. Was du mit "Induktionsvoraussetzung" bezeichnest, ist der "Induktionsschritt".

Ich starte nochmal den Versuch, das Prinzip der vollständigen Induktion zu erklären:

Wir haben eine Aussage A(n), deren Gültigkeit für alle n aus N behauptet wird.
Die vollständige Induktion besteht nun aus drei Teilen. Ja aus drei, nicht aus zwei Teilen, obwohl immer nur zwei Teile durchgeführt werden, weil der 3. Teil immer dasselbe ist.

1. Teil: Der Induktionsanfang. Gezeigt wird die Gültigkeit der Aussage für n=1. Also A(1) ist wahr.

2. Teil: Der Induktionsschritt. Hier wird gezeigt: Wenn die Aussage A für eine beliebige Zahl n wahr ist (die Betonung liegt auf "wenn", also die Aussage A(n) wird als wahr vorausgesetzt),
dann ist auch die Aussage A für die nachfolgende Zahl n+1 wahr.

3. Teil: Der Induktionsschluß.
Jetzt kommt der 3. Teil, der typischerweise weggelassen wird, weil er immer gleich ist:
Wir wissen, dass die Aussage A für n=1 gilt (wurde im 1. Teil bewiesen).
Wegen dem Induktionsschritt ist die Aussage A dann aber auch für den Nachfolger, also für n=2, wahr. Da sie nun für n=2 gilt, gilt sie auch wiederum für den nächsten Nachfolger, also für n=3. (Dominoeffekt)
Da auf diese Weise jede natürliche Zahl erreicht wird, ist die Gültigkeit der Aussage A für jede natürliche Zahl n bewiesen.
zeta Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, ist nicht ganz leicht nach zu vollziehen, wenn die erklärungen auch nicht ganz sauber sind...

Die klassischen vier Teile sind
1. Behauptung
2. Induktionsanfang (@klarsoweit: es muss nicht n=1 sein, auch n=0 oder n=2 oder so sind möglich, vgl. etwa n^2 kleiner gleich 2^n gilt für alle n ungleich 3, oder 2^n < n! für n größer gleich 4).
3. Induktionsvoraussetzung: Für beliebiges, aber festes n gelte... (diese Formulierung ist wichtig!)
4. Induktionsschluss: unter A(n) gilt A(n+1).

Dass damit dann alle n (größer gleich dem starter k, oft 0 oder 1) "umfallen", ist eher Peano geschuldet, nämlich ein Axiom, auf dem die Induktion beruht und braucht deswegen nicht jedesmal dargestellt zu werden.

Man vergleiche etwa meinen Beitrag von gestern 20:10 Uhr!
Heidi_L Auf diesen Beitrag antworten »

@ klarsoweit.
Ja, war etwas unsauber formuliert, das stimmt, aber was Du erklärst habe ich verstanden.

Zum größten Teil kann ich die Aufgaben ja lösen.

Mir geht es im Moment darum, den Unterschied von dem Primzahlen-Beispiel
(unvollständige Induktion, so nennt unser Lehrer das.)
und der vollständigen Induktion zu erkennen.

Wenn ich "Ben Sisko" richtig verstehe wird bei dem Primzahlen-Beispiel nur der
Induktionsanfang dargestellt.
Aber wird hier der Induktionsschritt nicht durch das einsetzen der Folgen dargestellt?
Ist doch "eigentlich" nichts anderes.

Erst wird gezeigt, das mit n = 1 bei der Formel eine Primzahl rauskommt.
Dann wird gezeigt, das mit n = n + 1 = 2 in der Formel auch eine Primzahl rauskommt.
Die nächste Zahl n + 1 wäre dann 2 + 1 = 3, und da kommt auch eine Primzahl raus.

Versteht Ihr was ich meine?

Klar, den Teil "könnten wir zu der Meinung gelangen" habe ich ich schon verstanden.

Aber ich sezte bei Beispielen der vollständigen Induktion weiße ich ja auch "nur"
einmal n+1 nach.

Oh man, ich glaube: Gerade hab ich es.

n^2+n+41 = Prim
Hier muss ich in die Formel für n einsetzen: n+1
Also:
(n + 1)^2 + (n + 1) + 41
Richtig?

Wenn ich dann n = 1 sezte wäre das dann

(1 + 1)^2 + (1 + 1) + 41 = 4 + 2 + 41 = 47

Dann n = 2

(2 + 1)^2 + (2 + 1) + 41 = 9 + 3 + 41 = 53


Hmmm, irgendwie stimmt hier wieder was nicht.....
Mache ich da mit dem Einsezten was falsch?

Liebe Grüße
Heidi
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Heidi_L
Oh man, ich glaube: Gerade hab ich es.

n^2+n+41 = Prim
Hier muss ich in die Formel für n einsetzen: n+1
Also:
(n + 1)^2 + (n + 1) + 41
Richtig?

Wenn ich dann n = 1 sezte wäre das dann

(1 + 1)^2 + (1 + 1) + 41 = 4 + 2 + 41 = 47

Und hier machst du den gedanklichen Fehler. Du brauchst (und darfst) nur einmal eine konkrete Zahl (meinetwegen n=1) einsetzen und die Behauptung prüfen. Das ist der Induktionsanfang.
Im nächsten Schritt (eben dem Induktionsschritt) wird vorausgesetzt, daß die Behauptung für ein beliebiges, aber festes n0 (ich schreibe mal n0, um das von dem allgemeinen n abzugrenzen) gilt. In diesem Fall nehmen wir also an, daß eine Primzahl ist. Dann schauen wir uns die Behauptung für die nächste Zahl, also n0 + 1 an. Das wäre also:
ist eine Primzahl.
Das müßtest du nun beweisen. Nur bekommst du das nicht hin, auch wenn du verwenden darfst, das eine Primzahl ist. Natürlich gibt es die eine oder andere konkrete Zahl, wofür das stimmt. Aber ein paar Glückstreffer helfen nicht. Denn n0 steht für irgendeine beliebige Zahl.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

"Etwas" off-topic, und nur für interessierte Zahlentheoretiker:

Die Folge erinnert mich immer an folgende Aufgabe, an der ich damals gescheitert bin:

Zitat:
Es sei eine natürliche Zahl. Man beweise:

Wenn für alle ganzen Zahlen mit eine Primzahl ist, dann ist auch für alle ganzen Zahlen mit eine Primzahl.

ist vermutlich das größte , für das die Voraussetzungen dieser Aufgabe erfüllt sind. Aber der Beweis, dass es keine größeren solchen gibt, ist sicherlich noch schwerer als die Aufgabe. Augenzwinkern
Heidi_L Auf diesen Beitrag antworten »

@klarsoweit
Oha, das muss ich jetzt nochmal langsam wiederholen.
Noch ist das für mich nicht so klar, aber ein Ansatz da.

Aber wenigstens weiß ich jetzt ab wann.

Vielen Dank für Deine/Eure Gedult.

Liebe Grüße
Heidi
Heidi_L Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nochmal.

Also irgendwie schnalle ich das nicht.

Gibt es vielleicht ein anderes Beispiel, in dem dieser Teil (in dem mein Verständnisproblem ist) etwas genauer, ausführlicher erklärt wird?

Das wäre echt lieb.

Liebe Grüße
Heidi
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Heidi_L
Aber wird hier der Induktionsschritt nicht durch das einsetzen der Folgen dargestellt?
Ist doch "eigentlich" nichts anderes.

Erst wird gezeigt, das mit n = 1 bei der Formel eine Primzahl rauskommt.
Dann wird gezeigt, das mit n = n + 1 = 2 in der Formel auch eine Primzahl rauskommt.
Die nächste Zahl n + 1 wäre dann 2 + 1 = 3, und da kommt auch eine Primzahl raus.


Hallo Heidi,

das Einsetzen ist etwas ganz anderes!
Mit der vollständigen Induktion will man eine Aussage für alle natürlichen Zahlen zeigen. (Betrachten wir der Einfachheit halber mal nur solche Fälle, in der die Aussage ab n=1 gilt)

Ich versuche nochmal zu erklären, warum man das getan hat, wenn man den Induktionsbeweis fertig hat:
Erst einmal weiß man, dass die Aussage für einen Startpunkt, z.B. n=1 gilt.
Nun sagt der Induktionsschritt, dass die Aussage, falls sie für eine beliebige natürliche Zahl n gilt, dann gilt sie auch für den Nachfolger n+1. Da wir ja eine natürliche Zahl kennen, für die die Aussage gilt, nämlich n=1 sagt uns der Induktionsschritt, dass sie auch für n=2 gilt.
Da sie nun für auch für n=2 gilt, sagt uns der Induktionsschritt, dass sie auch für n=3 gilt.
Da sie nun für auch für n=3 gilt, sagt uns der Induktionsschritt, dass sie auch für n=4 gilt.
Da sie nun für auch für n=4 gilt, sagt uns der Induktionsschritt, dass sie auch für n=5 gilt usw.

Diese Fälle muss ich nicht mehr einzeln nachrechnen, da ich den Induktionsschritt vorher ja für ein allgemeines n+1 gezeigt habe (unter der Voraussetzung, dass die Aussage für n gilt).

Was machst du nun in deinem Primzahlenbeispiel anders? Du zeigst den Induktionsanfang n=1 und versuchst dann im Induktionsschritt die Aussage für den speziellen Nachfolger n=2 zu zeigen. Damit nutzt du aber nicht das Prinzip der vollständigen Induktion und müsstest deswegen die Aussage für jede natürliche Zahl n einzeln zeigen...

Nun kann man in diesem Fall den Induktionsschritt nicht zeigen (in anderen Worten: man kann die Aussage nicht für ein allgemeines n+1 zeigen, wenn sie für n gilt), da sie ja für n=39 gilt, aber für den Nachfolger n+1=40 nicht.

Ist es jetzt klarer? (Bist ein "schwerer Brocken" Augenzwinkern )

Gruß vom Ben
Heidi_L Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Ben,

ich danke Dir für Deine Gedult.
(Hmm, ich glaube aber das ich nicht die einzigste bin, die da Probleme hat.)

Aber ich checke das nicht, weiß zwar wo das Problem ist, aber der Groschen fällt nicht.

Wieso eigentlich "spezieller Nachfolger" 2?
n+1, für n habe ich 1 eingesetzt und 1+1 = 2.

Also, bei dem Primzahlenbeispiel wurde die Formel doch für n = 1 nachgewiesen, das eine Primzahl rauskommt. Dann wurde n=2 genommen und als Ergebnis kam auch eine Primzahl.

Oh man, ich glaube ich gebe es auf.... dat jippet es doch ja nisch.
Ich komme mir jetzt echt blond vor. Naja, bin ich auch. :-(

Liebe Grüße
Heidi
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Heidi_L
Wieso eigentlich "spezieller Nachfolger" 2?
n+1, für n habe ich 1 eingesetzt und 1+1 = 2.


Du darfst aber beim Induktionsschritt nichts für n einsetzen, n muss beliebig bleiben.

Zitat:
Original von Heidi_L
Also, bei dem Primzahlenbeispiel wurde die Formel doch für n = 1 nachgewiesen, das eine Primzahl rauskommt. Dann wurde n=2 genommen und als Ergebnis kam auch eine Primzahl.


Das Primzahlenbeispiel ist ja auch keine vollständige Induktion!
zeta Auf diesen Beitrag antworten »

stell dir vor, die menschen würden nach folgendem verhalten leben: wenn einer eine ohrfeige bekommt, gibt er einem anderen auch eine. das ist ein verhalten. "wenn der eine, dann der andere". damit ist aber nicht gesagt, dass irgend jemand gephrfeigt wird! dieses verhalten ist nur der induktionsschritt. erst wenn du jetzt noch jemand findest, der anfängt (indunktionsanfang), tut es plötzlich ALLEN weh. sobal einer anfängt, gibt der geohrfeigte weiter, der dann auch, der dann auch, ... auf einmal haben alle eine dickes aua!

nun gibt es aber vielleicht auf einem anderen, viel tolleren planeten (nennen wir in edre) gelegentlich pazifisten. auch da scheint (!) zu gelten: wird einer geohrfeigt, gibt er die ohrfeige weiter. und tätsächlich gibt es auch einen, der anfängt. also gibt person 1 der person 2 eine ohrfeige. diese gibt person 3 eine, etc. aber person 40 ist ein pazifist, der gibt die ohrfeige nicht weiter!

bin schon ganz erschöpft ob des unmathematischen tippens ohne backslash, deswegen .
Heidi_L Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ben Sisko
Du darfst aber beim Induktionsschritt nichts für n einsetzen, n muss beliebig bleiben.

Nicht beim Induktionsschritt, aber beim Induktionsschluss, oder?


Zitat:
Original von Heidi_L
Also, bei dem Primzahlenbeispiel wurde die Formel doch für n = 1 nachgewiesen, das eine Primzahl rauskommt. Dann wurde n=2 genommen und als Ergebnis kam auch eine Primzahl.


Das Primzahlenbeispiel ist ja auch keine vollständige Induktion![/quote]
Das weiß ich, aber ich verstehe es nicht.

Es ist doch so, das man zuerst den Fall n = 1 zeigt.
Dann benutzt man diesen schon bewiesenen Fall, um den Fall n = n +1 zu seigen, hier also 1 + 1 = 2.
Man könnte noch einen Fall zeigen: der nächste Fall wäre wieder n = n + 1, mit den Zahlen 2 + 1 = 3.

Das könnte man endlos fortsetzen, aber bei der vollständigen Induktion gilt n ist wahr, dann ist auch n + 1 wahr, wenn folgende zwei Bedingungen gegeben sind:
1.) Es gilt A(1)
2.) Aus A(n) folgt A(n+1) für n Elemente von N.

Richtig soweit?

Nur was hiervon stimmt bei dem Primzahlenbeispiel nicht?

Was ist da den n + 1? Ist das nicht die 2?

Liebe Grüße
Heidi
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist aber ganz schön hartnäckig, Heidi_L.

Bei dem Primzahlenbeispiel ist das Problem, dass du aus n=39 nicht die Gültigkeit von folgern kannst.


Zitat:
Original von Heidi_L
Zitat:
Original von Ben Sisko
Du darfst aber beim Induktionsschritt nichts für n einsetzen, n muss beliebig bleiben.

Nicht beim Induktionsschritt, aber beim Induktionsschluss, oder?


Doch! Natürlich beim Induktionsschritt = Induktionsannahme! Du nimmst an, dass die Aussage für irgendein beliebiges n gilt und zeigst dann allgemein, dass du aus deren Gültigkeit ebenfalls die Gültigkeit von zeigen kannst.


Gruß, therisen
Heidi_L Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo therisen,

ja, muss ich schon sein. Ich will es jetzt wissen.
So schwer kann das doch nicht sein.... (denke ich zumindest)

Also zum Primzahlenbeispiel.
Im Normalfall komme ich doch gar nicht zu n = 39, oder?

Liebe Grüße
Heidi
zeta Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Heidi_L.

Was willst du eigentlich mit den Fällen n=1 und n+1=2? Die bringen dir gar nichts!

Behauptung: Alle natürlichen Zahlen sind kleiner als 3.

Induktionsanfang: n=1. stimmt, n=1 ist kleiner als 3.

Du sagst dann: Induktionsschluss: n+1=2 ist auch kleiner als 3, also stimmt die behauptng.

aber du wirst einsehen, dass dem nicht so ist. Und zwar, weil du nicht allgemein schließen kannst, dass: falls irgendeine allgemeine zahl n kleiner als drei ist, dann auch ihr nachfolger n+1. du kannst das für den spezialfall n=1 und n+1=2 zeigen, aber nicht allgemein!!!!!!!
UteKn Auf diesen Beitrag antworten »

Hallochen,

oha, ich sehe, da hat noch jemand das Problem wie ich.

Bei uns gab es vorher kein Beispiel einer Induktion.

Bei uns wurde gleich mit der Summenformel angefangen.

Allerdings ist unser "Aufbau" etwas anders:

1. Induktionsanfang
2. Induktionsschluss
2a. Induktionsvoraussetzung
2b. Induktionsbehauptung
2c. Induktionsschritt

Wenn ich richtig gesehen habe gibt es dann auch noch

1. Induktionsanfang
2. Induktionsvoraussetzung
3. Induktionsschluss

und

1. Induktionsanfang
2. Induktionsvoraussetzung
3. Induktionsschluss

Tja, soviel dazu, das Mathematik eindeutig ist. ;-)

Naja, im Pinzip haben alle ja die gleich Reihenfolge der Aussage.

So, dann will ich mal schauen, ob ich Beispiele ähnlich des Primzahlenbeispiels finde, die auch ausführlich das Problem aufzeigen.
Ich kapier das auch nicht.

Viele Grüße
---Ute
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Heidi_L
Also zum Primzahlenbeispiel.
Im Normalfall komme ich doch gar nicht zu n = 39, oder?


Nein, man zeigt es ja für allgemeines n. Für allgemeines n heisst aber soviel wie "für alle n". Das geht aber nicht, weil wir ja wissen, dass es mindestens ein n gibt, für das die Aussage nicht gilt.

Bis n=39 kommt man nicht, aber das muss man auch nicht. Fakt ist: Man kann die Aussage nicht für allgemeines n zeigen. Deswegen lässt sie sich nicht per Induktion beweisen (und auch mit keinem anderen Mittel). Ob man das "Gegenbeispiel" n=39 kennt, ist dafür nicht wichtig.

Und noch etwas: n=2 und n=3 zu zeigen, wie du es immer tun willst, hat einfach nichts mit Induktion zu tun. Ausserdem benutzt du dabei nicht die Voraussetzung, dass die Aussage für den Vorgänger wahr ist.
Heidi_L Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen,

hmmm, ist hier mein "allgemeines" n nicht n = 1? Und das nachfolgende n + 1 = 2 ?

Wieso ist die Aussage für 2 falsch, wenn sie für 1 richtig ist?

Ich glaube jetzt bin ich ganz durcheinander.

Die 2 kommt doch, da ich mit n = 1 angefangen habe, von n + 1 = 2.

Also ist in diesem Bereich mein Verständnisproblem!
Nur... warum raffe ich das nicht??????? Mist! (Sorry!)

Liebe Grüße
Heidi
phi Auf diesen Beitrag antworten »

moin,

vergiss einfach das "n=2".

Den Anfang mit n=1 macht man nur um zu gucken ob die Behauptung überhaupt gelten kann.

Beim Iduktionsschritt ist aber n beliebig, also n=n , und zu diesem beliebigen n wird dann 1 dazugezählt.


Der Sinn des ganzen ist es ja grade zu zeigen, das etwas für alle n gilt.

mfg, phi
freetgy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von phi
Der Sinn des ganzen ist es ja grade zu zeigen, das etwas für alle n gilt.

mfg, phi


Ab einem bestimmten selbst gewählten n.
------------------

vielleicht hilft dir ein weiteres Beispiel:
Vollständige Induktion
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Es muss kein bestimmtes gewähltes n sein. Es darf nichtmal ein spezielles n sein. (sonst könnte man nicht o.B.d.A. sagen)

Es wird bewiesen das etwas für alle n, also für die unendlich vielen natürlichen Zahlen gilt, völlig unabhängig welches n man auch wählen mag.

Aus dem Link, Mr.PSI: "das Gegebene auf die gesamte Menge der natürlichen Zahlen ausweiten"
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von phiEs muss kein bestimmtes gewähltes n sein. Es darf nichtmal ein spezielles n sein.


freetgy meint damit den Startpunkt der Induktion. Man muss ja nicht unbedingt bei 1 anfangen. Manchmal kann man den Induktionsschritt nur machen, wenn n nicht bei 1 sondern weiter oben anfängt; bei Ungleichungen zum Beispiel.
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Achso! Verstehe. Ja der IA kann bei 0 oder sogar bei n-1 liegen.. Wink
Heidi_L Auf diesen Beitrag antworten »

@phi

Ok, ich vergesse das jetzt mal mit der "n=2".

Wie Du geschrieben hast:
Zitat:

Den Anfang mit n=1 macht man nur um zu gucken ob die Behauptung überhaupt gelten kann.

Das wurde doch bei dem Primzahlenbeispiel gemacht.

Und wie geht es jetzt weiter?
Ich denke, hier ist genau mein Verständnisproblem.

Liebe Grüße
Heidi
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