Beweis Zusammenhang geometr. Verteilung und neg. Binomialverteilung

02.06.2008, 20:14

alphabeta

Beweis Zusammenhang geometr. Verteilung und neg. Binomialverteilung

Hallo,

ich soll beweisen, dass wenn $\begin{eqnarray*} X_1,...,X_n \end{eqnarray*}$ unabhängig und geometrisch verteilt ist, dass dann $\begin{eqnarray*} X_1+,...+,X_n \end{eqnarray*}$ negativ binomialverteilt ist.

Habe versucht das mit einer Induktion zu versuchen. Induktionsanfang ist k=1, dann folgt eindeutig, dass
$\begin{eqnarray*} Ws(X=x)=\binom{k+x-1}{x}*p^k*q^x \end{eqnarray*}$
zu
$\begin{eqnarray*} p*q^x \end{eqnarray*}$ wird.

Dann habe ich den Induktionsschritt k=>k+1 versucht, aber das komm ich nicht hin.

$\begin{eqnarray*} Ws(X=x)=\binom{k+x-1}{x}*p^k*q^x=\binom{k+1+x-1}{x}*p^{k+1}*q^x=\binom{k+x}{x}*q^{k+1}*q^x \end{eqnarray*}$

Entweder ich übersehe etwas oder etwas ist falsch verwirrt

Gruß
alphabeta

02.06.2008, 21:59

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Stopp - wie sieht denn dein Induktionsschritt im Detail aus?

Wenn du von $\begin{eqnarray*} S_n=X_1+\cdots+X_n \end{eqnarray*}$ ausgehst, dann ist im Induktionschritt $\begin{eqnarray*} k\to k+1 \end{eqnarray*}$ die Verteilung von $\begin{eqnarray*} S_{k+1} = S_k+X_{k+1} \end{eqnarray*}$ normalerweise als diskrete Faltung der Verteilungen von $\begin{eqnarray*} S_k \end{eqnarray*}$ (Induktionsvoraussetzung) und $\begin{eqnarray*} X_{k+1} \end{eqnarray*}$ bestimmbar. Ich erkenne nichts dergleichen in deinen Ausführungen. unglücklich

03.06.2008, 07:58

alphabeta

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RE: Beweis Zusammenhang geometr. Verteilung und neg. Binomialverteilung
Ich versuche es nochmal....

Meine Ind. Voraussetzung ist $\begin{eqnarray*} X=X_1+...+X_k \end{eqnarray*}$ ist gegeben durch $\begin{eqnarray*} Ws(X=x)=\binom{k+x-1}{x}*p^k*q^x \end{eqnarray*}$ und neg. binomial verteilt mit Parametern k und p.
Erster Induktionsschritt mit k=1 ist trivial denke ich also....

$\begin{eqnarray*} k=>k+1 \end{eqnarray*}$ . Dann ist das

$\begin{eqnarray*} X_1+...X_{k+1}=X_1+....+X_k+X_{k+1}=Y+X_{k+1} \end{eqnarray*}$ wobei ich den ersten Teil $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ bereits aus meiner Ind. Voraussetzung kenne.

Ist das soweit richtig? Jetzt muss ich doch die Faltunsformel anwenden? Nur wie?

Gruß
alphabeta

03.06.2008, 08:52

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Mit dem Begriff "gegeben" würde ich etwas vorsichtiger umgehen:

Gegeben sind die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ unabhängig, identisch geometrisch verteilten Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X_1,\ldots,X_n \end{eqnarray*}$ , d.h. mit Wahrscheinlichkeitsfunktion

$\begin{eqnarray*} P(X_i=x) = pq^x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=0,1,\ldots \end{eqnarray*}$ ,

dabei ist $\begin{eqnarray*} q=1-p \end{eqnarray*}$ . Zu beweisen (!) ist nun für $\begin{eqnarray*} S_k=X_1+\cdots+X_k \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeitsfunktion

$\begin{eqnarray*} P(S_k=x) = \binom{k+x-1}{x} p^kq^x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=0,1,\ldots \end{eqnarray*}$ .

------------------------------------
Induktionsanfang $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ ist klar.

Im Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} k\to k+1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} P(S_{k+1}=x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x=0,1,\ldots \end{eqnarray*}$ zu bestimmen. Was das mit der "Faltung" hier auf sich hat, kann man sich ohne großes Recherchieren rasch selbst klarmachen:

Welche Konstellationen der Summanden $\begin{eqnarray*} S_k,X_{k+1} \end{eqnarray*}$ führen denn zur Summe $\begin{eqnarray*} S_{k+1}=S_k+X_{k+1} = x \end{eqnarray*}$ ?

Das sind im einzelnen $\begin{eqnarray*} S_k=0,X_{k+1}=x \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} S_k=1,X_{k+1}=x-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S_k=2,X_{k+1}=x-2 \end{eqnarray*}$ , ... , bis zu $\begin{eqnarray*} S_k=x,X_{k+1}=0 \end{eqnarray*}$ . Nun folgt aus der Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} X_1,\ldots,X_{k+1} \end{eqnarray*}$ auch die von $\begin{eqnarray*} X_1+\ldots+X_k,X_{k+1} \end{eqnarray*}$ und somit

$\begin{eqnarray*} P(S_{k+1}=x) = \sum_{y=0}^x P(S_k=y,X_{k+1}=x-y) = \sum_{y=0}^x P(S_k=y)P(X_{k+1}=x-y) \end{eqnarray*}$

Die Verteilung von $\begin{eqnarray*} X_{k+1} \end{eqnarray*}$ ist gegeben, die von $\begin{eqnarray*} S_k \end{eqnarray*}$ steht als Induktionsvoraussetzung bereits. Bleibt noch einsetzen und Summe vereinfachen.

03.06.2008, 18:29

alphabeta

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RE: Beweis Zusammenhang geometr. Verteilung und neg. Binomialverteilung
$\begin{eqnarray*} P(S_k=y)=\binom{r+y-1}{y}*p^r*q^x \end{eqnarray*}$ ist klar.

Doch ist $\begin{eqnarray*} P(X_{k+1}=x-y)=\binom{s+x-y-1}{x-y}*p^x-q^y \end{eqnarray*}$ ???

Steh auf dem Schlauch

03.06.2008, 19:12

alphabeta

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RE: Beweis Zusammenhang geometr. Verteilung und neg. Binomialverteilung
Bin total verwirrt. Hab mich verschrieben soll heißen:

$\begin{eqnarray*} P(S_k=y)=\binom{k+y-1}{y}*p^k*q^y \end{eqnarray*}$

Doch $\begin{eqnarray*} P(X_{k+1}=x-y)=\binom{s+x-y-1}{x-y}*p^x*p^y \end{eqnarray*}$ gefällt mir nicht.

03.06.2008, 20:31

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Was machst denn du da für Sachen??? $\begin{eqnarray*} X_{k+1} \end{eqnarray*}$ ist voraussetzungsgemäß geometrisch verteilt, siehe oben:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} P(X_i=x) = pq^x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=0,1,\ldots \end{eqnarray*}$

Das benutzen wir jetzt im Fall $\begin{eqnarray*} i=k+1 \end{eqnarray*}$ nicht für Wert $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , sondern Wert $\begin{eqnarray*} x-y \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} P(X_{k+1}=x-y) = pq^{x-y} \end{eqnarray*}$

Es ist wirklich nicht angenehm, solche einfachen Einsetzgeschichten im Hochschulbereich haarklein erklären zu müssen. unglücklich

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