integration von x^n * e^x dx

02.06.2008, 21:56

sina22

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integration von x^n * e^x dx

Hallo,

ich scheitere daran diese Funktion zu integrieren, da die Partielle Integration erfolglos ist, bzw mir keine geeignete Substitution einfällt.

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~x^{n}*e^{x} ~dx \end{eqnarray*}$

bzw:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~x^{n}*e^{x} ~dx \end{eqnarray*}$

Evt könnte man das ja mit hilfe einer Rekursionfolge Ausdrücken..ich hab mir mal mit hilfe von Derive (matheprogramm) die "ersten 7. "n"s " ausrechnen lassen für die Grenzen 0 bis 1..also das obere Integral.

n=1____1
n=2____e-2
n=3____6-2e
n=4____9e-24
n=5____120-44e
n=6____265e-720
n=7____5040-1854e

nur leider sehe ich in den Flächen keine Struktur einer (rekursiven)-Formel mit der ich das obige Integral "lösen" könnte, da "normale" integrationsmethoden anscheinend nicht funktionieren. Stichwort: numerische integration vielleicht ? nur das sagt mir nicht all' zu viel. Erbitte daher um Tipps Big Laugh

Big Laugh

danke schonmal

03.06.2008, 09:15

klarsoweit

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RE: integration von x^n * e^x dx

Zitat:

Original von sina22
ich scheitere daran diese Funktion zu integrieren, da die Partielle Integration erfolglos ist, bzw mir keine geeignete Substitution einfällt.

Natürlich hilft die partielle Integration. Du mußt das nur lang genug machen. smile

smile

03.06.2008, 13:31

sina

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Wie denn ?

Ich muss sie dann unendlich machen ? Klar kann ich partiell integrieren für x=1, x=2..usw...natürlich, aber ich kann nicht integrieren für x=n, weil n unendlich ist.

Aus meiner lässt sich das Integral nur über eine (rekursiv)-definierte Formel lösen, weil ich eben nicht für unendliche "n" unendlich integrieren kann.

oder ? das thema scheint entweder komplex zu sein, weil keiner antwort, oder total leicht verwirrt

verwirrt

grüße, sina

03.06.2008, 13:42

klarsoweit

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Zitat:

Original von sina
aber ich kann nicht integrieren für x=n, weil n unendlich ist.

verwirrt

Also irgendwie geht das etwas durcheinander. Wieso x=n? Und wieso n unendlich? n ist immer noch eine endliche Zahl

Setze doch mal $\begin{eqnarray*} I(n) := \int_{0}^{1}~x^{n} \cdot e^{x}~dx \end{eqnarray*}$

Und jetzt mach doch mal eine partielle Integration.

03.06.2008, 13:51

sina

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Sry. Hatte mich verschrieben.

Ich meine wenn n=1..n=2..n=3..dann kann man sicherlich integrieren, aber wie will man integrieren für n=unendlich ?

Aufgabe war ja:

Löse das Integral für alle "n".

03.06.2008, 14:00

sina

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$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~x^n * e^x ~dx=x^n * e^x - \int_{0}^{1}~nx^{n-1}* e^x~dx \end{eqnarray*}$

Versucht man nun das hintere Integral aufzulösen:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~nx^{n-1}* e^x~dx =nx^{n-1}*e^x - \int_{0}^{1}~n*(n-1)x^{n-2}* e^x~dx \end{eqnarray*}$

kommt wieder hinten ein integral. LEtztendlich kann man da doch dann unendlich integrieren.. oder ?

Ziel ist es ja, das integral für ALLE n zu beweisen und nicht nur für n=1, n=2 usw..

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03.06.2008, 14:36

Airblader*

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Für $\begin{eqnarray*} n = \infty \end{eqnarray*}$ gibts hier aus 2 Gründen nichts zu tun:

1) "Für alle" schließt unendlich nicht ein (, weil ...)
2) Unendlich ist keine reelle (und damit keine natürliche) Zahl

Zum Ziel kommst du, wenn du einfach allgemein n-mal integrierst.
Dann kannst du auch n gegen unendlich betrachten oder was immer du damit machen willst Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

03.06.2008, 14:41

sina

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mh. Ok. Nur wie integriere ich. Ich habe ja oben shconmal nen Ansatz hingeschrieben.

Aber das Integral bei der hinteren Partiellen Integration ist wieder ne Partielle Integration. Könnte mir jemand nen Tipp geben wie man das Integral löst ?

03.06.2008, 17:34

sina

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hat keiner nen tipp ?!

03.06.2008, 20:38

AD

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Die eine partielle Integration genügt doch, um erstmal eine rekursive Beziehung aufzustellen:

Also $\begin{eqnarray*} I(n) \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} I(n-1) \end{eqnarray*}$ (mit den Bezeichnungen von klarsoweit).

Dazu musst du lediglich im äußersten rechten Integral deiner partiellen Integrationszeile den Faktor $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ herausziehen, und dann mal die Brille putzen.

P.S.: Allerdings hast du in der Zeile die bestimmte Integration beim ersten Summanden der partiellen Integration "vergessen". Richtig ist dort

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^1 ~ x^n \cdot e^x ~ \dd x = \Big[ x^n \cdot e^x \Big]_{x=0}^1 ~ - ~ n\cdot \int\limits_0^1 ~ x^{n-1} \cdot e^x ~ \dd x \end{eqnarray*}$

Hab jetzt gleich mal das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ rausgezogen - wenn du jetzt immer noch nichts siehst...

04.06.2008, 14:09

Cena20

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Bin zwar nicht der Fragesteller, trotzdem interessiert es mich...

$\begin{eqnarray*} I(n)=x^n\cdot e^x-n\cdot I(n-1) \end{eqnarray*}$

So richtig, oder was meinst du Arthur Dent?

04.06.2008, 14:21

AD

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Das letzte "P.S." von mir hast du aber noch nicht gelesen? Es geht hier um die Werte konkreter bestimmter (!) Integrale, da hat eine Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nichts mehr drin zu suchen. unglücklich

unglücklich

06.06.2009, 08:54

golum

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Anscheinend weiss niemand die Loesung. Eigentlich gar nicht schwer. Fuer $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ verschwindet das Integral.

26.03.2010, 22:57

Manuel20

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Ich habe das Forum ein wenig durchstöbert und nach Rekursionsaufgaben gesucht - und auf diese hier gestossen.

Wäre eine mögliche Rekursion nicht folgende? :
$\begin{eqnarray*} -(-1)^{(-n)}*(x^n*(-1)^n*n*\gamma(n)*(-x)^{(-n)}-x^n*(-1)^n*exp(x)-x^n*(-1)^n*n*(-x)^{(-n)}*\gamma(n, -x)) \end{eqnarray*}$

27.03.2010, 04:09

gonnabphd

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verwirrt

Hat das jetzt überhaupt noch etwas mit der ursprünglichen Aufgabe zu tun?!

Bezogen auf die Aufgabenstellung im ersten Post...

Rekursiv gilt mit den Bezeichnungen der Posts vor mir ganz einfach:

$\begin{eqnarray*} I(n)=e-n\cdot I(n-1) \end{eqnarray*}$

also ist doch die rekursive Folge

$\begin{eqnarray*} I(n),\quad e-nI(n-1),\quad (1-n)e+n(n-1)I(n-2),\quad , \quad [1-n+n(n-1)-n(n-1)(n-2)]e + n(n-1)(n-2)I(n-3), \ldots \end{eqnarray*}$

und deshalb würde ich mal folgendes für die allgemeine Formel (für beliebiges $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ) vorschlagen:

$\begin{eqnarray*} I(n) = \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k \frac{n!}{(n-k)!}\cdot e + (-1)^nn!e = \sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{n! \cdot e}{(n-k)!} \end{eqnarray*}$

Habe es allerdings nicht kontrolliert, wenn du also Lust dazu hast! smile

smile

27.03.2010, 14:23

Mystic

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Zitat:

Habe es allerdings nicht kontrolliert, wenn du also Lust dazu hast! smile

smile

Hm, wer soll denn das kontrollieren? verwirrt

verwirrt

Der Threadersteller ist bei diesem fast zwei Jahre alten Thread wohl kaum mehr daran interessiert und er scheint auch ähnlich wie Manuel20, der ihn mit seinem Sinnlos-Beitrag wieder ausgegraben hat, intellektuell kaum dazu in der Lage zu sein...

Falls deine Frage also überhaupt ernst gemeint war, dann hier von meiner Seite die korrigierte Endformel

$\begin{eqnarray*} I(n) = \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^k \frac{n!}{(n-k)!}\cdot e + (-1)^nn! \end{eqnarray*}$

wobei die Korrektur eigentlich nur in einer simplen Weglassung besteht...

27.03.2010, 17:50

gonnabphd

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LOL Hammer

Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

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