Universelle Eigenschaft - Direkte Summe

02.06.2008, 22:01

Romaxx

Universelle Eigenschaft - Direkte Summe

Hallo,

Sei $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ eine Indexmenge und für jedes $\begin{eqnarray*} i \in I \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} V_i \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Vektorraum. Der Vektorraum $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ sei
durch folgende universelle Eigenschaft definiert:

• Für jedes $\begin{eqnarray*} i \in I \end{eqnarray*}$ gibt es eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \iota_i : V_i \to S \end{eqnarray*}$
• Sind ein Vektorraum $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ und für jedes $\begin{eqnarray*} i \in I \end{eqnarray*}$ lineare Abbildungen $\begin{eqnarray*} f_i : V_i \to W \end{eqnarray*}$ gegeben,
dann gibt es genau eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f : S \to W \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} i \in I \end{eqnarray*}$ das folgende Diagramm kommutiert:

http://img154.imageshack.us/img154/467/unbenanntvg1.jpg

(c) Zeigen Sie, dass die direkte Summe $\begin{eqnarray*} \bigoplus _{i\in I} V_i \end{eqnarray*}$ der Vektorräume $\begin{eqnarray*} V_i \end{eqnarray*}$ obige universelle Eigenschaft
erfüllt, indem Sie die Abbildungen $\begin{eqnarray*} \iota_i \end{eqnarray*}$ geeignet wählen.

Die $\begin{eqnarray*} \iota_i \end{eqnarray*}$ hab ich mir wie folgt definiert:

$\begin{eqnarray*} \iota_i: V_i\to\bigoplus_{i\in I}V_i: v^{(i)}\mapsto v^{\bigoplus}=(0v^{(1)},...,v^{(i)},0v^{(i+1)},...,0v^{(n)}) \end{eqnarray*}$

Meine Frage ist nun, ob dies auch so genügt?
Mit dieser Definition erwische ich nicht alle Elemente in der Direkten Summe, was mich zu der nächsten Frage bringt, müssen die $\begin{eqnarray*} \iota_i \end{eqnarray*}$ alle Elemente in der Direkten Summe erwischen?
Klar ist, dass ich damit noch nicht fertig bin.
Gruß

02.06.2008, 23:24

therisen

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Zitat:

Original von Roman Föll
Die $\begin{eqnarray*} \iota_i \end{eqnarray*}$ hab ich mir wie folgt definiert:

$\begin{eqnarray*} \iota_i: V_i\to\bigoplus_{i\in I}V_i: v^{(i)}\mapsto v^{\bigoplus}=(0v^{(1)},...,v^{(i)},0v^{(i+1)},...,0v^{(n)}) \end{eqnarray*}$

Die Idee ist richtig. Aber wer sagt, dass I endlich ist? Das $\begin{eqnarray*} \iota_i \end{eqnarray*}$ wird übrigens auch i-te Injektion genannt.

Zitat:

Original von Roman Föll
Meine Frage ist nun, ob dies auch so genügt?
Mit dieser Definition erwische ich nicht alle Elemente in der Direkten Summe, was mich zu der nächsten Frage bringt, müssen die $\begin{eqnarray*} \iota_i \end{eqnarray*}$ alle Elemente in der Direkten Summe erwischen?

Du musst zeigen: Für jedes $\begin{eqnarray*} i\in I \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} f\circ \iota_i=f_i \end{eqnarray*}$ . Es ist schon so gewollt, dass du nur die i-te Komponente erwischst. Schließlich ist ja $\begin{eqnarray*} f_i \end{eqnarray*}$ eine Abbildung von $\begin{eqnarray*} V_i \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ .

02.06.2008, 23:42

Romaxx

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Zitat:

Original von therisen

Die Idee ist richtig. Aber wer sagt, dass I endlich ist? Das $\begin{eqnarray*} \iota_i \end{eqnarray*}$ wird übrigens auch i-te Injektion genannt.

Du musst zeigen: Für jedes $\begin{eqnarray*} i\in I \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} f\circ \iota_i=f_i \end{eqnarray*}$ . Es ist schon so gewollt, dass du nur die i-te Komponente erwischst. Schließlich ist ja $\begin{eqnarray*} f_i \end{eqnarray*}$ eine Abbildung von $\begin{eqnarray*} V_i \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ .

Hallo therisen,

Das I endlich ist, steht nirgends. Danke für den Hinweis.

Ergänzung: $\begin{eqnarray*} i=1,..., n \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} n=\infty \end{eqnarray*}$ zugelassen ist.

Zu deinem zweiten Zitat. Also erwische ich echt nur eine Teilmenge der Direkten Summe?

Ich würde nun wie folgt vorgehen:

Zeigen, das durch die Definition lineare Abbildungen gegeben sind.
Indem ich $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ defniere, zeige ich dann, dass f ersteinmal linear und wohldefiniert ist.
Darüberhinaus kann ich dann damit zeigen, dass das Diagramm kommutiert.
Insbesondere muss die Eindeutigkeit gezeigt werden.

Ich denke das wäre alles.

Nur noch eine Frage:

Muss ich $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ dann auf $\begin{eqnarray*} im(\iota_i) \end{eqnarray*}$ einschränken? Ja oder?

Also: $\begin{eqnarray*} f|_{im(\iota_i)}:im(\iota_i) \to W: v^{\bigoplus}\mapsto w=f(v^{\bigoplus})=f_i(v^{(i)}) \end{eqnarray*}$

Gruß

03.06.2008, 12:23

therisen

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Zitat:

Original von Roman Föll
Ergänzung: $\begin{eqnarray*} i=1,..., n \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} n=\infty \end{eqnarray*}$ zugelassen ist.

Auch das würde ich lassen. Die Indexmenge kann auch überabzählbar sein.

Zitat:

Original von Roman Föll
Zu deinem zweiten Zitat. Also erwische ich echt nur eine Teilmenge der Direkten Summe?

Ja. Ist doch klar.

Zitat:

Original von Roman Föll
Nur noch eine Frage:

Muss ich $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ dann auf $\begin{eqnarray*} im(\iota_i) \end{eqnarray*}$ einschränken? Ja oder?

Also: $\begin{eqnarray*} f|_{im(\iota_i)}:im(\iota_i) \to W: v^{\bigoplus}\mapsto w=f(v^{\bigoplus})=f_i(v^{(i)}) \end{eqnarray*}$

[/quote]

Du musst f unabhängig von i definieren. Dass dann f eingeschränkt wird auf das Bild der i-ten Injektion, ist klar (Komposition).

03.06.2008, 20:18

Romaxx

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Okay, danke vielmals smile

Gruß

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