Kathetensatz vektoriel beweisen

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19.02.2006, 13:44

overfloh

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Kathetensatz vektoriel beweisen

hi ich würd gern mal wissen ob wer von euch weiß wie ich den thalessatz beweisen kann?
€dit: meine den kathetensatz

19.02.2006, 14:17

mYthos

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Kommt auf deine Kenntnisse an, eine schöner Beweis ist vektoriell, wenn man damit schon rechnen kann (bei normal aufeinander stehenden Vektoren ist deren skalares Produkt Null).

Den Halbkreis (Radius r) legt man mit dem Mittelpunkt M in den Ursprung, die Schnittpunkte des Halbkreises mit der x-Achse seien A(-r;0), B(r;0), der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{MA} \end{eqnarray*}$ des linken Halbmessers ist $\begin{eqnarray*} -\vec{r} \end{eqnarray*}$ , der des rechten $\begin{eqnarray*} \vec{MB}=\vec{r} \end{eqnarray*}$ . Den Vektor von M zu einem beliebigen Punkt P des Halbkreises bezeichnen wir mit $\begin{eqnarray*} \vec{MP} = \vec{p} \end{eqnarray*}$ .

Somit ist $\begin{eqnarray*} \vec{AP} = \vec{p} -(-\vec{r}) = \vec{p} + \vec{r} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{BP} = \vec{p} - \vec{r} \end{eqnarray*}$ .

Deren skalares Produkt

$\begin{eqnarray*} \vec{AP} \cdot \vec{BP} = (\vec{p} + \vec{r}) \cdot (\vec{p} - \vec{r}) = \vec{p} \ ^2 - \vec{r} \ ^2 = r^2 - r^2 = 0 \end{eqnarray*}$

Dies deswegen, weil der Betrag von $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ ebenfalls r ist und $\begin{eqnarray*} \vec{p} \ ^2 = |\vec{p}| \ ^2 = r^2 \end{eqnarray*}$ .

Gr
mYthos

19.02.2006, 14:29

MrPSI

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Thalessatz? Also der Satz mit dem Halbkreis und den rechten Winkeln?

Das kann man einfach als Spezialfall des Umfang-Zentri-Winkelsatzes zeigen.

19.02.2006, 16:17

overfloh

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jo vielen Dank - ich meinte zwar mit dem Thalessatz nicht den Thaleskreis, sondern den satz das das Quadrat einer Kathete die gleiche fläche hat wie:
Hypotenuse*Hypotenusenabschnitt
aber ich glaube ich habe jetzt wie verstanden wie ich das Vektoriell beweisen kann...

btw - ich hab noch nie was von einem "Umfang-Zentri-Winkelsatzes" gehört^^

19.02.2006, 17:17

overfloh

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argh krieg es doch nicht gebacken weil ich ja beweisen muss das die flächen gleich sind und nciht das die vektoren senkrecht zueinander sind...-.-
€dit: ich meine den Kathetensatz nicht den Thalessatz^^ sorry

19.02.2006, 17:24

Leopold

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Zitat:

Original von overfloh
jo vielen Dank - ich meinte zwar mit dem Thalessatz nicht den Thaleskreis, sondern den satz das das Quadrat einer Kathete die gleiche fläche hat wie:
Hypotenuse*Hypotenusenabschnitt

Was du meinst, nennt man Kathetensatz, gelegentlich auch: Satz des Euklid.

19.02.2006, 17:34

riwe

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mit pythagoras
(I) $\begin{eqnarray*} a^{2}=h^{2}+q^{2} \end{eqnarray*}$
(II) $\begin{eqnarray*} b^{2}=h^{2}+p^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c^{2}=(p+q)^{2} \end{eqnarray*}$
und aus (I) und (II) einsetzen, ergibt den höhensatz:
$\begin{eqnarray*} h^{2}=p\cdot q \end{eqnarray*}$
und jetzt in (I) für h einsetzen und q herausheben, liefert den kathetensatz.
werner

19.02.2006, 21:31

Leopold

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Und so könnte man es vektoriell machen:

Nimm an, daß das Dreieck $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ rechtwinklig ist mit $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ als dem Höhenfußpunkt der Höhe auf $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ , und betrachte die Vektoren

$\begin{eqnarray*} \vec{a} = \overrightarrow{CB} \, , \ \ \vec{b} = \overrightarrow{AC} \, , \ \ \vec{c} = \overrightarrow{AB} \, , \ \ \vec{h} = \overrightarrow{HC} \, , \ \ \vec{p} = \overrightarrow{HB} \end{eqnarray*}$

Ferner seien $\begin{eqnarray*} a,c,p \end{eqnarray*}$ die Beträge der jeweiligen Vektoren. Dann gilt einerseits

$\begin{eqnarray*} \vec{c} \vec{p} = cp \end{eqnarray*}$

denn die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{c}, \vec{p} \end{eqnarray*}$ sind linear abhängig und gleich gerichtet.

Andererseits kann man dieses Skalarprodukt berechnen, indem man zunächst $\begin{eqnarray*} \vec{p} = \vec{h} + \vec{a} \end{eqnarray*}$ setzt, ausmultipliziert und vereinfacht, und dann schließlich auch noch $\begin{eqnarray*} \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} \end{eqnarray*}$ verwendet. Dabei muß man jeweils die Orthogonalität ausnutzen, also $\begin{eqnarray*} \vec{c} \cdot \vec{h} = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \end{eqnarray*}$ .

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