Suche komplexere "Auf" und Ableitungsaufgaben als Übung für Mathe LK ABi 08

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02.06.2008, 22:20	Knorx	Auf diesen Beitrag antworten »
Suche komplexere "Auf" und Ableitungsaufgaben als Übung für Mathe LK ABi 08 Hi, Ich hatte einen Unfall und konnte deshalb das Zentralabitur nicht schreiben. Ich bin gerade beim üben und suche noch nen par Funktionen zum integrieren oder Ableiten die etwas schwieriger sind und/oder nur mit Tricks funktionieren. Als Beispiel: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~sin(x)cos(x)~dx \end{eqnarray}$ was ja wunderbar zu lösen ist wen man das integriert und dann $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~sin(x)cos(x)~dx \end{eqnarray}$ auf beiden Seiten addiert und das ganze durch 2 teilt. Anderes Beispiel wäre $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~ln(x)~dx \end{eqnarray}$ was ich zu 1ln(x) erweitern kann und dann mithilfe der Produktregel für Integralle zum gewnüschten Ergebniss führt. Gibt es andere Tricks die man wissen sollte ?* Hat jemand vielleicht auch ein par schöne Aufgaben? Auch ne schöne aufgabe mit Substitution nehme ich gern. Ich werde die dann (falls mehrere Aufgaben zusammenkommen) nacheinander abarbeiten. Warum ich hier frage ? Ich denke das ihr mit vielen teils ziemlich hakltigen Aufgaben konfrontiert worden seid und deshalb ist hierfür das meiner Meinung nach eine gute Quelle. Noch was anderes: Hat jemand ne Idee wie ich an das schon geschriebene,also alte Zentralabitur vom 30.4 aus Berlin komme ? Würde die auch gerne als Übung nehmen. Hat das evtl hier jemand geschrieben und kann mir teile rekonstruieren ? Naja ich hoffe ich hab alles richtig gemacht :-) mit latex und boardregeln Gruß Flo
02.06.2008, 22:44	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Suche komplexere "Auf" und Ableitungsaufgaben als Übung für Mathe LK ABi 08 Hallo Knorx, im Matheboard!!! Du fragst nach Tricks? Nun ja, beim Integrieren gibt es nun mal keine Standardlösungen, bzw. anders gesagt: Integrieren erweist sich meist als sehr schwierig. Wie hieß es doch einmal so schön: Differenzieren ist Technik, Integrieren ist Kunst. Oder so ähnlich. Du solltest auf alle Fälle wichtige Standardsubstituitionen kennen. Da weiß ich halt nicht, in wie weit ihr die verschiednene Typen bereits behandelt habt. Sieh dir z.B. mal die folgenden an: $\begin{eqnarray} \int\cfrac{1}{\sin x}~\dd x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int \cfrac{e^x+1}{e^x-1}~\dd x \end{eqnarray}$ Dort sind "Standardsubstitutionen" von Nöten. Aufgaben findest du zahlreiche im Internet, auch auf den Übungsservern von Hochschulen. Zentralabitur? Schau mal auf der Seite des Kulturministeriums deines entsprechenden Bundeslandes. Oder auf abiturloesungen.de oder so.
02.06.2008, 23:00	Knorx	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke ich werd die morgen mal machen. Ich meine mit Aufgaben halt besonderere wie z.b. die zweite (Int ln(x) dx). Da wäre ich wenn ich sie zum ersten mal gesehen hätte nie drauf gekommen. Und das es im Internet soviele Quellen für AUfgaben gibt ist im Endeffekt genau mein Problem ^^. 90% der Aufgaben sind einfaches Anwenden der Regeln ... teils produktintegral oder partielle Integration ... das bereitet mir meißt keine großen Schwierigkeiten. Allerdings kann ich nicht im vorraus sehen, ob eine Aufgabe bzw. Integral interessant ist oder nur stupides anwenden der Regeln beinhaltet. Mein Gedanke war jetzt das ihr ja eignetlich genau mit diesen nicht standart "Schul"-Integralen in Berührung kommt. Dadurch kann ich mir dann etwas Zeit sparen die ich für das Stochastik wiederholen noch gut gebrauchen kann. Substitution werden ich auf jedenfall noch genau verinnerlichen. Wegen des Abis, das Problem ist, dass das Abi von 2008 (zumindest in Berlin) noch nicht freigegeben ist also nicht im Netz zu bekommen ist. Deshalb hier die kleine Frage nebenbei ;-)
03.06.2008, 10:34	Rare676	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier sind noch ein paar Übungsbeispiele, mit Lösungen und Lösungsweg. Kannste dir ja mal anschauen und ausprobieren. Lösungen musste ja nicht direkt mit angucken Viel Spaß damit.
23.04.2009, 22:15	domelius	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein berühmtes Beispiel: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{1}{(a^2+x^2)^2}~dx \end{eqnarray}$
24.04.2009, 22:29	Mathe_2010?	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm... ich bekomme die drei hier genannten Funktionen einfach nicht integriert. Kann das vielleicht jemand vormachen? Also für eine habe ich schon die Lösung gefunden: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{e^x+1}{e^x-1}~dx =\int_{}^{}~\frac{e^x-1+2}{e^x-1}~dx= \int_{}^{}~1+\frac{2}{e^x-1}~dx \end{eqnarray}$ Beim zweiten Term habe ich (e^x-1) mit z substituiert und nach anschließender Partialbruchzerlegung kam ich auf $\begin{eqnarray} F(x)=2\cdot ln(e^x-1)-x \end{eqnarray}$ Gibt es hier einen einfacheren/schnelleren Weg? Bei den folgenden zwei habe ich leider keine Idee $\begin{eqnarray} \int_{ }^{ }~\frac{1}{sin x}~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{ }^{ }~\frac{1}{(a^2+x^2)^2}~dx \end{eqnarray}$
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25.04.2009, 12:26	domelius	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{1}{sinx}~dx =\int_{}^{}~\frac{1}{2sin\frac{x}{2}cos \frac{x}{2} } ~dx=\int_{}^{}~\frac{2\frac{1}{cos^2\frac{x}{2} } }{2\frac{sin\frac{x}{2} }{cos\frac{x}{2} } } ~d \frac{x}{2} =\int_{}^{}~\frac{1}{tg\frac{x}{2} } ~dtg\frac{x}{2} =ln\mid tg\frac{x}{2} \mid +C \end{eqnarray}$
25.04.2009, 14:07	Mathe_2010?	Auf diesen Beitrag antworten »
also ist $\begin{eqnarray} d\frac{x}{2} =\frac{1}{2} \cdot dx \end{eqnarray}$ ? Was bedeuted das eigentlich geometrisch? Angenommen wir haben ein Funktion in irgendeinem Intervall in n Streifen der Breite dx geteilt. Dann ist das Integral ja die Summe der Streifenflächen, also $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b}~f(x)~dx = f(a)\cdot dx+f(a+dx)\cdot dx+f(a+2dx)\cdot dx+...+f(a+ndx)\cdot dx \end{eqnarray}$ (wobei a+ ndx=b) Aber was bedeutet in dem Sinne nun: $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b}~f(x)~d \frac{x}{2} \end{eqnarray}$ Sind dann die Streifen nur halb so breit? Also: $\begin{eqnarray} \int_{a}^{b}~f(x)~d\frac{x}{2} = f(a)\cdot d\frac{x}{2} +f(a+d\frac{x}{2} )\cdot d\frac{x}{2} +f(a+2d\frac{x}{2} )\cdot d\frac{x}{2} +...+f(a+nd\frac{x}{2} )\cdot d\frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ Aber dann kommt man ja nur bis zur Hälfte des Intervalls? Ob das jemand vielleicht anschaulich erklären kann?
25.04.2009, 18:42	domelius	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Suche komplexere "Auf" und Ableitungsaufgaben als Übung für Mathe LK ABi 08 Als erstens solltest du dir folgendes merken: $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~f[\phi(x)]\phi'(x)~dx = \int_{}^{}~f[\phi(x)]~d\phi (x)=F[\phi (x)]+C \end{eqnarray}$ Deine geometrische Interpretation ist m.E. auch falsch. Du solltest dir genau die Definition des bestimmten Integralls anschauen. Das Integrall ist nicht die Summe der Streifenflächen, sondern der Grenzwert dieser Summe bei unendich kleinen Intevallängen. Außerdem sind diese Intervalllängen nicht unbedingt gleich. dx steht da nur um zu zeigen, nach welcher Variable du integrierst.
25.04.2009, 19:26	Mathe_2010?	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ich habe der Faulheit halber ( ) vergessen, zu erwähnen, dass n gegen unendlich bzw. dx gegen Null gegen soll. Ist ja auch egal, mich interessiert im Augenblick eigentlich eher, was es mit diesen Differentialen auf sich hat. Aber dazu habe ich ohnehin schon einen neues Thema eröffnet

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