funktion f a,b mit vorggb. Punkt und Anstieg - a,b berechnen

19.02.2006, 18:13

jule2707

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funktion f a,b mit vorggb. Punkt und Anstieg - a,b berechnen

hallo,

ich habe ein ansatzproblem bei folgender aufgabe:

Gegeben ist die Funktion fa,b mit der Gleichung f a,b(x)= $\begin{eqnarray*} a* e^{bx } \end{eqnarray*}$
a,b $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0
P(1/2,1) sei ein Punkt des Graphen von fa,b. Der Anstieg in P sei m=0,7.
Berechne für diesen Fall a und b.

so, ich habe jetzt den Punkt in die Gleichung eingesetzt und dann die 1. Ableitung gebildet. f a,b'(x)= b*e^b.
könnte mir aber auch vorstellen, dass ich zuerst die 1. Ableitung bilden muss und dann den Punkt einsetzte soll.
also habe ich auch gleich noch die 1. Ableitung gebildet:
f a,b '(x)= $\begin{eqnarray*} e^{bx } * \end{eqnarray*}$ (1+ab) oder ist beides falsch??

19.02.2006, 18:20

babelfish

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wenn mehrere sachen hochgestellt werden sollen, setzt sie in geschweifte klammern! versuchs mal so... e^{b*x}

/edit: jetzt scheints zu funktionieren!

also, du suchst zwei variablen, a und b.
also brauchst du schonmal auf alle fälle zwei gleichungen! und dann kannst du dieses gleichungssystem lösen!

die erste gleichung erhälst du, indem du einfach nur den vorgegebenen punkt einsetzt.

die zweite gleichung zu bekommen ist schon etwas aufwändiger - du weißt die steigung in einem bestimmten punkt, du kennst also einen punkt der ableitungsfunktion.
also leitest du die funktion erstmal ab und setzt dann deinen ableitungspunkt ein - das ergibt die zweite gleichung!

19.02.2006, 18:21

jule2707

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danke, habe es jetzt geachafft smile

smile

19.02.2006, 18:26

babelfish

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sieh mal, was ich oben noch editiert hab!

deine erste ableitung ist übrigens falsch... versuchs mal mit der kettenregel!

19.02.2006, 18:35

jule2707

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gut
1. gleichung ist klar.

dachte meine ableitung wäre richtig. habe sie schon zusammengefasst.

f a,b'(x)=(1* $\begin{eqnarray*} e^{bx} \end{eqnarray*}$ ) + (a* $\begin{eqnarray*} bx^{bx} \end{eqnarray*}$ )
= $\begin{eqnarray*} e^{bx} + abe^{bx} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} e^{bx} \end{eqnarray*}$ (1+ab)

ist da wirklich ein fehler drin?

19.02.2006, 18:38

babelfish

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jepp, sie ist immer noch falsch! Augenzwinkern

Augenzwinkern

gehen wir die ableitung doch mal schritt für schritt durch!

$\begin{eqnarray*} f(x)=h(g(x))=a*e^{b*x} \end{eqnarray*}$

was ist

$\begin{eqnarray*} h(x)? \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x)? \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h'(x)? \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g'(x)? \end{eqnarray*}$

wenn du das alles hast, kannst du die kettenregel anwenden und brauchst im prinzip nur noch einsetzen!

$\begin{eqnarray*} f'(x)=g'(x)*h'(g(x)) \end{eqnarray*}$

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19.02.2006, 18:47

jule2707

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hhm, seltsam, hatte das bei einer übungsaufgabe in der schule zwar so gelernt, wie ich es schrieb, aber lasse es mir gerne besser zeigen Augenzwinkern

Augenzwinkern

also hätte dann (hoffe es ist richtig):

f a,b'(x)= b* $\begin{eqnarray*} e^{b*x} \end{eqnarray*}$ * a* $\begin{eqnarray*} e^{b*x} \end{eqnarray*}$

19.02.2006, 18:49

babelfish

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ne, das ist noch nicht richtig so...

am besten, du postest wirklich mal schrittweise, wie du vorgehst, sonst endet das hier ja noch in nem ratespiel! Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.02.2006, 18:51

jule2707

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okay:

h(x)= a
g(x)= $\begin{eqnarray*} e^{bx} \end{eqnarray*}$
h'(x)= a oder 1? weiß ich nicht
g'(x)= $\begin{eqnarray*} be^{bx} \end{eqnarray*}$

19.02.2006, 18:54

babelfish

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dein fehler liegt bei h und g!

du musst dir das so vorstellen:
wenn du in die funktion h den term von g einsetzt erhälst du f!

ich mach mal ein beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{2x} \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} h(x)=e^x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x)=2x \end{eqnarray*}$

wenn ich jetzt das 2x von dem g bei h(x) in das x einsetze hab ich wieder f!

kannst du das jetzt auf deine aufgabe übertragen?

19.02.2006, 18:59

jule2707

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so?

h(x)= e^x
g(x)= b*x
h'(x)= e^x
g'(x)= b

19.02.2006, 19:00

babelfish

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ja genau, wenn du jetzt noch bei h(x) das a einbringst (und dementsprechend natürlich auch in h'(x)) hast du's!
(tipp: der faktor a beeinflusst die ganze sache nicht wirklich...)

19.02.2006, 19:03

jule2707

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h(x)= a*e^x
g(x)= b*x
h'(x)= a*e^x
g'(x)= b

so richtig?

19.02.2006, 20:06

babelfish

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sorry, hab grad zu abendgegessen...

ja, so stimmts, super! Freude

Freude

jetzt brauchst du s nur noch einsetzen, dann haste deine ableitung!

19.02.2006, 20:42

jule2707

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gut, ist das dann die 1. Ableitung:
b* $\begin{eqnarray*} ae^{bx} \end{eqnarray*}$ ?

und dann, wenn ich den einen bekannten punkt einsetze:
0,7=b* $\begin{eqnarray*} ae^{bx} \end{eqnarray*}$

19.02.2006, 20:47

babelfish

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Zitat:

Original von jule2707
gut, ist das dann die 1. Ableitung:
$\begin{eqnarray*} b*ae^{bx} \end{eqnarray*}$ ?

ja genau! (eine kleinigkeit hab ich noch zu bemängeln... das ist ne reine formsache, nämlich solltest du immer ein f'(x)= davorschreiben und nicht nur einen term - wenn dein lehrer ganz korrekt ist, kann er dir da immer noch ein pünktchen abziehen... Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

Zitat:

und dann, wenn ich den einen bekannten punkt einsetze:
$\begin{eqnarray*} 0,7=b*ae^{bx} \end{eqnarray*}$

du hast vergessen den x-wert einzusetzen...

19.02.2006, 20:51

jule2707

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ja, das weiß ich, aber war gerade einfach zu faul, das f'(x) noch zu schreiben Augenzwinkern

Augenzwinkern

ist der x-wert 1?

19.02.2006, 20:53

babelfish

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Zitat:

Original von jule2707
ja, das weiß ich, aber war gerade einfach zu faul, das f'(x) noch zu schreiben Augenzwinkern

Augenzwinkern

dann ist ja alles klar! smile

smile

Zitat:

ist der x-wert 1?

ja genau, denn es heißt ja, die steigung im punkt P(1/2.1) sei 0.7!

19.02.2006, 20:56

jule2707

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okay, dann habe ich jetzt 2 gleichungen:

a) 2.1=a* $\begin{eqnarray*} e^b \end{eqnarray*}$
b) 0.7= b* $\begin{eqnarray*} ae^{b} \end{eqnarray*}$

und wie geht es dann weiter?

19.02.2006, 21:04

babelfish

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du könntest jetzt zb die erste gleichung nach a umstellen und dann das ganze in II einsetzen!

19.02.2006, 21:06

speedyschmidt

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Jetzt kannst du die untere Gleichung durch die obere teilen. e^b ist nämlich ungleich 0 und a auch. dann hast du sofort einen Wert für b!!!

19.02.2006, 21:09

jule2707

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okay, habe für b=1/3 und für a~1,5 raus.
ist das richtig? wenn nicht, dann schreibe ich meinen lsgsweg hier noch mal hin.

19.02.2006, 21:12

jule2707

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speedyschmidt, ist ja cool, dass das funktioniert smile

smile

also müsste mein b richtig sein, oder?

19.02.2006, 21:13

babelfish

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ganz genau! stimmt jetzt alles! Freude

Freude

19.02.2006, 21:15

jule2707

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sehr schön smile

smile

vielen lieben dank euch beiden!!

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