Konfidenzintervall bei Erwartungswert

19.02.2006, 20:38

aRo

Konfidenzintervall bei Erwartungswert

Hallo!

Ich muss zu diesem Thema leider noch mal etwas fragen.

Ich nenne im folgenden $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ die Vertrauenszahl, da ich nicht weiß, wie ich das andere Zeichen mache Augenzwinkern

ich suche ja:
$\begin{eqnarray*} P(-c\leq z\leq c) = \alpha \end{eqnarray*}$
also:
$\begin{eqnarray*} P(-c\leq \frac{\bar{x}-\mu_x}{\sigma(x)} \cdot \sqrt{n} \leq c) = \alpha \end{eqnarray*}$

nach Umformung und $\begin{eqnarray*} \mu_x = \bar{x} \end{eqnarray*}$ setzen wird daraus:
$\begin{eqnarray*} P(\bar{x}-\frac{c \cdot \sigma(x)}{\sqrt{n} } \leq \mu_x \leq \bar{x}+ \frac{c \cdot \sigma(x)}{\sqrt{n} }) \end{eqnarray*}$

also das Intervall:
$\begin{eqnarray*} [\bar{x}- \frac{c \cdot \sigma(x)}{\sqrt{n} };\bar{x}+ \frac{c \cdot \sigma(x)}{\sqrt{n} }] \end{eqnarray*}$

so, jetzt haben wir folgende Aufgabe:
x sei NV. $\begin{eqnarray*} \sigma(\bar{x}) = 0.25 \end{eqnarray*}$ n=50 $\begin{eqnarray*} \bar{x} = 3.6 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \alpha = 0.9 \end{eqnarray*}$

1) ich erhalte für c=1.65
2) jetzt muss ich in die Grenzen einsetzen. Aber wieso setzt man hier für $\begin{eqnarray*} \sigma(x) \end{eqnarray*}$ 0.5 ein?!! Das wäre doch $\begin{eqnarray*} \sigma(\bar{x}) \end{eqnarray*}$ ..das verstehe ich nicht so richtig...

aRo

19.02.2006, 22:24

bil

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RE: Konfidenzintervall bei Erwartungswert

Zitat:

Original von aRo
so, jetzt haben wir folgende Aufgabe:
x sei NV. $\begin{eqnarray*} \sigma(\bar{x}) = 0.25 \end{eqnarray*}$ n=50 $\begin{eqnarray*} \bar{x} = 3.6 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \alpha = 0.9 \end{eqnarray*}$

1) ich erhalte für c=1.65
2) jetzt muss ich in die Grenzen einsetzen. Aber wieso setzt man hier für $\begin{eqnarray*} \sigma(x) \end{eqnarray*}$ 0.5 ein?!! Das wäre doch $\begin{eqnarray*} \sigma(\bar{x}) \end{eqnarray*}$ ..das verstehe ich nicht so richtig...

verstehe irgendwie nicht ganz wo der fehler ist. du hast ja anscheinend die lösung, kannst du die mal posten. vll liegt aber der fehler auch schon hier:
man kann das intervall auch so angeben:

$\begin{eqnarray*} [\bar{x}-c\cdot \sigma(\bar{x})~,~\bar{x}+c\cdot \sigma(\bar{x})] \end{eqnarray*}$

gruss bil

19.02.2006, 22:37

aRo

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also ich habe mir damals aufgeschrieben:

untere Grenze: $\begin{eqnarray*} 3.6 - \frac{0.5 \cdot 1.65}{\sqrt{50} } = 3.48 \end{eqnarray*}$
obere Grenze: $\begin{eqnarray*} 3.6 + \frac{0.5 \cdot 1.65}{\sqrt{50} } = 3.717 \end{eqnarray*}$

und das wäre doch genau sigma von x quer unglücklich

Dein Intervall ist ja im Prinzip genau das gleich wie meins...

aRo

19.02.2006, 22:50

bil

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da ist irgendwo ein fehler in der angabe. wenn die lösung stimmt bedeutet es:

$\begin{eqnarray*} \sigma(x)=0,5 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \sigma(\bar{x})=\frac{0,5}{\sqrt{50}}\not=0.25 \end{eqnarray*}$

also entweder ich stell mich gerade ziemlich dumm an oder du hast dich einfach verschrieben.

ich vermute, dass die orginalaufgabe so lautet:

x normalverteilt mit $\begin{eqnarray*} \bar{x}=3,6 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} \sigma^2(x)=0,25 \end{eqnarray*}$

aber wie gesagt nur eine vermutung...

gruss bil

19.02.2006, 23:00

aRo

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ich hab mich tatsächlich verschrieben, aber so, dass es eigentlich nix ändert, denn es ist immer noch falsch, weshalb ich ja hier nach gefragt habe. In unserer Aufgabestellung steht:
$\begin{eqnarray*} \sigma(\bar{x})^2 = 0.25 \end{eqnarray*}$

aber das geht ja immer noch nicht unglücklich

was mich wundert, schau mal hier: Vertrauensintervall für Erwartungswert

da setzt man ja im Prinzip auch $\begin{eqnarray*} \sigma(\bar{x}) \end{eqnarray*}$ ein mit $\begin{eqnarray*} 1.44 \end{eqnarray*}$ , oder nicht?

aRo

20.02.2006, 02:37

bil

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Zitat:

Original von aRo
ich hab mich tatsächlich verschrieben, aber so, dass es eigentlich nix ändert, denn es ist immer noch falsch, weshalb ich ja hier nach gefragt habe. In unserer Aufgabestellung steht:
$\begin{eqnarray*} \sigma(\bar{x})^2 = 0.25 \end{eqnarray*}$

ok, das reicht mir schon um es zu erklären. es handelt sich hier um ein konfidenzintervall mit unbekanntem erwartungswert und unbekannter varianz.
siehe:
http://de.wikipedia.org/wiki/Konfidenzin...idenzintervalle

bei unbekannter varianz ist das intervall folgendes:

$\begin{eqnarray*} [\bar{x}-\frac{\sigma(\bar{x})}{\sqrt{n}}\cdot t~,~\bar{x}+\frac{\sigma(\bar{x})}{\sqrt{n}}\cdot t] \end{eqnarray*}$

hier wird das c der normalverteilung durch das t der t-verteilung(student) ersetzt mit n-1 freiheitsgrade. sprich hier brauchst du die tabelle der studentverteilung.

gruss bil

20.02.2006, 14:22

aRo

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von dieser Studentverteilung habe ich noch nie etwas gehört und wie man dieses t berechnet auch nicht. in meiner rechnung da haben wir ja auch einfach c ganz normal berechnet, nix mit t.

Aber wenigstens stimmt es dann mit $\begin{eqnarray*} \sigma(\bar{x}) \end{eqnarray*}$ ...also das erscheint mir doch etwas schleierhaft. Entweder sollte unser Lehrer das ganz machen, oder gar nicht, bzw. nicht so halb falsch unglücklich

aRo

20.02.2006, 14:37

bil

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das mit der studentverteilung läuft analog wie mit der normalverteilung. du musst halt die tabelle der studentverteilung benutzen und nicht der normalverteilung.

Zitat:

in meiner rechnung da haben wir ja auch einfach c ganz normal berechnet, nix mit t.

das ist nicht ganz richtig. der t wert der studentverteilung ist hier gleich dem wert der normalverteilung, nämlich 1.65. das liegt unteranderem daran das die studentverteilung für grosse n normalverteilt ist.

gruss bil

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