[WS] Die fraktale Brownsche Bewegung

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[WS] Die fraktale Brownsche Bewegung
Inhalt.

1. Historie: Vom Wiener Prozess zur fraktalen Brownschen Bewegung.

2. Definition und einige Eigenschaften.

3. Stochastische Motivation

4. Analytische Definition

5. Geometrische Motivation
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Historie: Vom Wiener Prozess zur fraktalen Brownschen Bewegung
(Wikipediaartikel zum Wiener Prozess: http://de.wikipedia.org/wiki/Wiener-Prozess)


1827 studierte der Botaniker Robert Brown die Bewegung von Pollenkörnern in einer Trägerflüssigkeit und beobachtete eine unregelmäßige, nahezu chaotische Zick-Zack-Bewegung.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/thumb/e/e7/BrownBew2dim.png/300px-BrownBew2dim.png

Zu Beginn des 20. Jahrhunderts (1905) war es dann kein geringerer als Albert Einstein, der diese Molekularbewegung mathematisch beschrieb. Schließlich gelang es Norbert Wiener 1923 die wahrscheinlichkeitstheoritische Existenz dieses von Einstein modellierten Prozesses nachzuweisen.

Definiert ist der Wiener Prozess seither als ein (mit Wahrscheinlichkeit Eins) in Null startender zentrierter Gauß-Prozess mit Kovarianzfunktion .

Ein Wiener Prozess ist markovsch (also gedächtnislos) und besitzt die Martingaleigenschaft. Dies erleichtert die Arbeit mit dem Wiener Prozess erheblich, dennoch wurde vor allem die Gedächtislosigkeit von vielen Anwendern kritisiert.

Diese Kritik rief dann Benoit B. Mandelbrot und John W. van Ness auf den Plan. Mit ihrer bahnbrechenden Arbeit

Fractional Brownian motions, fractional noises and applications, SIAM Rev. 10 (1968), 422-437

gelang es den beiden den Wiener Pozess zur fraktalen Brownschen Bewegung zu verallgemeinern.


(Wikipediaartikel zur fraktalen Brownschen Bewegung: http://en.wikipedia.org/wiki/Fractional_Brownian_motion)
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Definition und einige Eigenschaften
Definition. Ein gaußscher Prozess definiert auf einem Wahrscheinlichkeitsraum heißt fraktale Brownsche Bewegung mit Hurst-Parameter , falls für alle gilt








Man sieht sofort, dass eine fraktale Brownsche Bewegung mit Hurst-Parameter gerade der Wiener Prozess ist. Die Beträge in der Kovarianzfunktion erscheinen zunächst überflüssig, werden später aber noch nützlich sein.



Einige Eigenschaften:

1) Eine fraktale Brownsche Bewegung mit Hurst-Parameter ist kein Martingal, kein Semimartingal und kein Markov Prozess.

2) Die Pfade einer fraktalen Brownschen Bewegung sind f.s. in jedem Punkt stetig.

3) Die Pfade einer fraktalen Brownschen Bewegung sind f.s. in keinem Punkt differenzierbar.

4) Es gilt das Gesetz der großen Zahlen, d.h. f.s.

5) Die Zuwächse einer fraktalen Brownschen Bewegung sind stationär.

6) Die Zuwächse einer fraktalen Brownschen Bewegung mit Hurst-Parameter sind unabhängig, genau dann wenn .



Simulation: Die folgende Grafik zeigt die (stochastisch unabhängigen) Pfade einer fraktalen Brownschen Bewegung mit verschiedenen Hurst-Parametern.

[attach]8230[/attach]


Trotz all der gewonnen Freiheitsgrade für die Anwender wurde das Konzept der indexierten Familie von Gauß Prozessen lange verweigert. Warum?
Nun die Antwort ist nicht schwer zu finden. Für den Wiener Prozess hatte sich mittlerweile eine bodenständige Integrationstheorie (z.B. nach Itô) etabliert. Diese stand nun für den fraktalen Fall nicht zur Verfügung, da die Itôsche Theorie die Martingaleigenschaft benötigt.

Allerdings sind seit dem einige Jahre ins Land gegangen, so dass es mittlerweile viele der stochastischen Kalkühle auch für die fraktale Brownsche Bewegung gibt. Dennoch ist die Lobby der fraktalen Verweigerer kaum geschrumpft. Im folgenden sollen die Vorteile der fraktalen Brownschen Bewegung gegenüber dem Wiener Prozess aus drei verschiedenen Sichtweisen illustriert werden.
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Stochastische Motivation
Zufällige Einflüsse auf ansonsten deterministische Systeme treten in vielen Bereichen auf. Als Beispiele dafür seien hier nur die Quantenfeldtheorie, die Strömungsmechanik und Zinsmodelle in der Finanzmathematik genannt.

Zur Beschreibung stochastischer Einflüsse werden häufig Wiener-Prozesse (Weißes Rauschen) verwendet. Dies ist nur dann legitim, wenn die zufälligen Störungen zeitlich unabhängig sind. Das Konzept der fraktalen Brownschen Bewegung ist ein probates Mittel um zeitliche Abhängigkeiten zu berücksichtigen. In einer bedeutenden Arbeit

H. E. Hurst, R. P. Black, and Y. M. Sinaika, Long term storage. An experimental study, Constable, London, 1965.

haben Hurst et.al. erstmalig für ein Problem aus der Hydrologie belegt, dass ein solcher Ansatz geeignet ist, um entsprechende statistische Zeitreihen realistisch zu beschreiben.


Um diesen Umstand zu erkennen betrachten wir den Korrelationskoeffizenten der Zuwächse einer fraktalen Brownschen Bewegung. Der Einfachkeit halber setzen wir die fraktale Brownsche Bewegung geignet auf gemäß



fort, was einer stochastischen Punktspiegelung (also in Verteilung) in t=0 entspricht. Für betrachten wir nun die Zuwächse von and den Punkten . Mit Hilfe der Stationarität der Zuwächse gilt dann also



Damit ist also



Fraktale Brownsche Bewegungen heißen daher antipersitent, falls ; persistent, falls ; und chaotisch, falls .
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Analytische Motivation
Aus analytischer Sicht, ist vor allem die Regularität einer Störung von Interesse. Mit Hilfe der Kahane-Khinchine Ungleichung (alternativ lässt sich auch mit Hilfe der Stationarität der Zuwächse und der Selbstähnlichkeit argumentieren) und des Kolmogorov-Centsov-Theorems lässt sich zeigen, dass die Pfade einer fraktalen Brownschen Bewegung mit Hurst-Parameter Hölder stetig mit Exponent ist, d.h.



Mittels Einbettungssätzen folgt damit auch unmittelbar, dass



wobei die entsprechenden gebrochenen Sobolev-Räume bezeichnet. In der -Theorie, sind diese isomorph zu den Slobodeckij-Räumen, sofern nicht ganzzahlig ist.


Dieser Umstand soll verdeutlichen, dass der Zugang über die fraktale Brownsche Bewegung Antworten auf Fragen der Art "Wie stark kann ich ein System stören, so dass ...?" liefern kann. Der Wiener Prozess kann dies offenkundig nicht.
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Geometrische Motivation
In der euklidischen Geometrie haben alle Objekte eine ganzzahlige Dimension und können nach dieser klassifiziert werden. Punkte haben bekanntlich die Dimension 0, Geraden die Dimension 1, Ebenen die Dimension 2, usw.

In der fraktalen Geometrie können Objekte hingegen gebrochene Dimensionen haben. Diese Dimension nennt man dann auch Hausdorff-Dimension. Für Punktmengen mit endlicher Ausdehnung im ist diese identisch mit der Box-Counting-Dimension. Ein Fraktal ist ein geometrisches Objekt, dessen Hausdorff-Dimension größer ist als seine topologische.


Zur Veranschaulichung nun einige Beispiele:


Die Koch-Kurve:

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b8/Kochkurve.png

Die Koch-Kurve (benannt nach Helge von Koch) ist das erste formal beschriebene Fraktal, und eines der ersten Beispiele für eine nirgens differenzierbare Kurve. Die Hausdorff-Dimension der Koch-Kurve ist . Topologisch ist sie also etwas zwischen Gerade und Ebene.


Das Sierpinski-Dreieck:

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ad/Sierpinski-Trigon-7.svg/300px-Sierpinski-Trigon-7.svg.png

Das Sierpinski-Dreieck besitzt die Hausdorff-Dimension und ist somit aus topologischer Sicht auch etwas zwischen Gerade und Fläche.


Die Cantor-Menge:

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/1/1a/Cantor.png

Die Cantor-Menge (oder auch Cantor-Staub) besitzt die Hausdorff-Dimension und ist somit ein Objekt zwischen Punkt und Gerade.


Was haben Objekte der fraktalen Geometrie nun aber mit unserer fraktalen Brownschen Bewegung zu tun? Auch hier ist die Antwort einfach: Die Pfade einer fraktalen Brownschen Bewegung sind Fraktale mit Hausdorff-Dimension . Will man also natürliche Phänomene modellieren (z.B. einen Blitz), dessen Hausdorff-Dimension bekannt ist, verbietet es sich dafür den Wiener Prozess zu verwenden, sobald die Hausdorff-Dimension verschieden von ist.
 
 
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