Volumen von Rotationskörper! Mit Variable a! Minimum?????

19.02.2006, 23:42	Paulina	Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen von Rotationskörper! Mit Variable a! Minimum????? Hallo, Habe hier eine Aufgabe: Berechne das Volumen des Rotationskörpers der durch die Drehung des Funktionsgraphen zu f(x)=a^2 - 1/9( a - 3 )^2 * x^2 zwischen den Nullstellen von f um die x-Achse entsteht. Für welchen wert von a nimmt das Volumen ein MIminim auf (a>3) So jetzt habe ich ersteinmal die Nullstellen ausgerechnet: x= +/- 3a/(a-3) und das unbestimmte integral der funktion welches wäre: [ x^3(a-3)^2 / 27 ] - xa^2 so nun wäre es ansich kein problem die Fläche zu berechnen, [ x^3(a-3)^2 / 27 ] {untergrenze 3a/3-a obergrenze 3a/a-3} nur irgendwie weiss ich nicht wie ich fortfahren soll, vor allem verstehe ich das überhauptnicht mit dem minimum, kann mir einer von euch bitte helfen??? danke wäre echt liep!!!
20.02.2006, 00:09	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Du kannst dir die Berechnung des Volumens etwas erleichtern, wenn du beachtest, dass die Funktion symmetrsich zur y-Achse ist (es kommt x nur zur 2. Potenz vor, damit ist f(-x) = f(x)). Somit ist nur von $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} \frac{3a}{a - 3} \end{eqnarray}$ zu integrieren und das dann mal 2 zu nehmen. -------------- EDIT: Die nachfolgende Rechnung bezieht sich auf die Fläche, ich habe leider übersehen, dass das Volumen ein Extremum werden soll, weiter unten berichtigt .. -------------- Eine andere Frage ist, warum du das Integral, welches zahlenmäßig zwar richtig ist, negativ nimmst ?? Die Fläche stimmt dann nicht mehr, denn du hast dort $\begin{eqnarray} a^2 \cdot x \end{eqnarray}$ vergessen ... Bei richtiger Rechnung bzw. mit $\begin{eqnarray} A = 2 \cdot \int_{0}^{\frac{3a}{a - 3}}~(a^2 - \frac{(a - 3)^2}{9} \cdot x^2) ~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A = 2 \cdot [a^2 \cdot x - \frac{(a - 3)^2}{9} \cdot \frac{x^3}{3}]_{0}^{\frac{3a}{a - 3}} \end{eqnarray}$ ..... wird schließlich $\begin{eqnarray} A = \frac{4a^3}{a - 3} \end{eqnarray}$ So, und das muss nun minimiert werden, das ist nun ganz dein Part! [ $\begin{eqnarray} a = \frac{9}{2} \end{eqnarray}$ ] -------------- $\begin{eqnarray} V = 2\pi \cdot \int_{0}^{\frac{3a}{a - 3}}~[(a^2 - \frac{(a - 3)^2}{9} \cdot x^2)]^2 ~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V = 2\pi \cdot \int_{0}^{\frac{3a}{a - 3}}~(a^4 - \frac{2a^2(a - 3)^2}{9} \cdot x^2 + \frac{(a - 3)^4}{81} \cdot x^4) ~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V = 2\pi \cdot [a^4x - \frac{2a^2(a - 3)^2x^3}{27} + \frac{(a - 3)^4}{81} \cdot \frac{x^5}{5}) ]_{0}^{\frac{3a}{a - 3}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V = .. = \frac{16\pi}{5} \cdot \frac{a^5}{a - 3} \end{eqnarray}$ -------------- Gr mYthos
20.02.2006, 18:35	paulinchen	Auf diesen Beitrag antworten »
A= 4a^3/a-3 darauf komme ich nicht ich kommt nur bis a²x-((a-3)²x³)/27 und ab da weiss ich nicht mehr weiter, weil weiter auflösen geht irgendwie nicht helft mir bitte
21.02.2006, 01:23	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, das Integral hast du jetzt (be)richtig(t) Nütze die Symmetrie der Funktion und rechne mit 2 mal dem Wert des bestimmten Integrals von $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} \frac{3a}{a - 3} \end{eqnarray}$ ! $\begin{eqnarray} A = 2 \cdot [a^2 \cdot x - \frac{(a - 3)^2}{9} \cdot \frac{x^3}{3}]_{0}^{\frac{3a}{a - 3}} \end{eqnarray}$ Da klammerst du zum leichteren Einsetzen zunächst noch x aus: $\begin{eqnarray} A = 2x \cdot [a^2 - \frac{(a - 3)^2}{9} \cdot \frac{x^2}{3}]_{0}^{\frac{3a}{a - 3}} \end{eqnarray}$ Wenn du da für x die obere Grenze $\begin{eqnarray} \frac{3a}{a - 3} \end{eqnarray}$ einsetzt, kürzen sich in der Klammer im Bruch des 2. Summanden $\begin{eqnarray} 9 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (a - 3)^2 \end{eqnarray}$ , und es bleibt in der Klammer [ ]: [ $\begin{eqnarray} a^2 - \frac{a^2}{3} \end{eqnarray}$ ], das ist $\begin{eqnarray} \frac{2a^2}{3} \end{eqnarray}$ , und bei der unteren Grenze 0 ergibt sich glatt 0, dann das Ergebnis noch durch 3 kürzen. $\begin{eqnarray} A = 2 \cdot \frac{3a}{a - 3} \cdot \frac{2a^2}{3} = \frac{4a^3}{a - 3} \end{eqnarray}$ So. Wie geht's jetzt mit der Bestimmung des Minimums weiter, hast du das schon mal versucht? (Nach a ableiten, die 1. Ableitung Null setzen, usw.) Gr mYthos
21.04.2006, 00:54	MAX-NEUSS	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey Mythos die Fläche ist richtig, aber das Volumen des Rotationskörpers ist ja eigentlich das Integral des Quadrates. Ist dir da ein kleines Missgeschick unterlaufen, oder hast du dir das leben einfacher gemacht, und gesagt, wenn die Fläche unterm Graphen für a extremal wird, so wird es auch gleichzeitig die Rotation? Weil das müsste doch auch gelten oder! Also habe gerade das Rotationskörper Volumen ausgerechnet: Kommt raus $\begin{eqnarray} V_{ROT}=\frac{16\pia^2}{5(a-3)} \end{eqnarray}$ grüße PS: Die Idee mit der Symmetrie ist Prima, hat mir viel Arbeit erspart
21.04.2006, 13:02	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
@Max .. du hast Recht mit dem Mißgeschick, ich habe bei diesem Thread immer nur die Fläche betrachtet und nicht beachtet, dass ja das Volumen ein Extremum werden soll. Nun ist es (leider) so, dass - wenn das Volumen ein Extremum werden soll - dies von vornherein NICHT auch automatisch für die Drehfläche gilt! Da muss man schon tatsächlich erst das Rotationsvolumen allg. berechnen und DANN ERST davon das Extremum bestimmen. Insofern stimmt meine Berechnung ganz und gar nicht, sondern diese wäre nur für die Fläche richtig. Im Falle des Volumens ist nun $\begin{eqnarray} V_{Rot} = \frac{16 \cdot \pi \cdot a^5}{5 \cdot (a - 3)} \end{eqnarray}$ fast so, wie dein Ergebnis, nur statt $\begin{eqnarray} a^2 \end{eqnarray}$ muss $\begin{eqnarray} a^5 \end{eqnarray}$ stehen. Die nachfolgende Extremwertberechnung liefert $\begin{eqnarray} a = \frac{15}{4} \end{eqnarray}$ . Danke für den Hinweis! Gr mYthos
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