9 teilt x² - 9 teilt x ?

20.02.2006, 14:48

Mathefan

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9 teilt x² - 9 teilt x ?

Hi,
Nachdem mir schon oft hier geholfen wurde, würde ich auch nun gerne meine jetzige Frage hier stellen. Also nehmen wir an man hat die Gleichung:
$\begin{eqnarray*} x² = 2 * y \end{eqnarray*}$

=> 2 teilt x² => x² ist gerade => x muss gerade sein => 2 teilt auch x

Soweit so gut, aber wie sieht es z.B. mit 9 aus?

$\begin{eqnarray*} x² = 9 * y \end{eqnarray*}$

Ist es da auch immer zu 100% gesagt, dass 9 auch x teilt? Natürlich kann man das mit zwei Variablen nicht so einfach überprüfen darum habe ich mir mal das Beispeiel aufgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} 9 \end{eqnarray*}$ teilt $\begin{eqnarray*} 6² \end{eqnarray*}$

heißt aber nicht:

$\begin{eqnarray*} 9 \end{eqnarray*}$ teilt $\begin{eqnarray*} 6 \end{eqnarray*}$

Sind das zwei verschiedene Fälle, da in dem 1. noch ein Faktor dazu kommt? Oder wie kann mir sowas jetzt nun vorstellen, kann mir das jemand erläutern?

Mfg

20.02.2006, 14:55

Mazze

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Du hast ein Gegenbeispiel gefunden warum aus

$\begin{eqnarray*} x^2 = 9 \cdot y \end{eqnarray*}$

nicht

$\begin{eqnarray*} 9 | x \end{eqnarray*}$

folgt. Insofern gilt die Aussage nicht. Was ist hier Dein Problem? ^^

20.02.2006, 15:00

Mathefan

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Naja genauso kann ich ja auch ausversehn nur ein Beispiel gefunden haben wo es klappt, z.B.
$\begin{eqnarray*} 9|9² => 9|9 \end{eqnarray*}$

Aber meine Frage wäre, ob es denn so ist, dass wenn da ,nur als Beispiel, steht:

$\begin{eqnarray*} x² = 5 * y \end{eqnarray*}$

Dafür auch gilt, dass

$\begin{eqnarray*} 5|x \end{eqnarray*}$ ist, oder ob das hier aus irgendeinem Grund nicht stimmt.

20.02.2006, 15:02

AD

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2 und 5 sind Primzahlen, 9 nicht!

20.02.2006, 15:06

Mathefan

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Also gilt:

$\begin{eqnarray*} x² = z * p => z | x \end{eqnarray*}$

nur, wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} {1, z} | z \end{eqnarray*}$

Oder hab ich da was falsch verstanden?

20.02.2006, 15:08

20_Cent

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$\begin{eqnarray*} {1, z} | z \end{eqnarray*}$

das gilt aber für alle natürlichen Zahlen...

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20.02.2006, 15:12

Mathefan

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Öhm ich mein ja auch nur 1 und die Zahl selbst teilen die Zahl. Also halt das es Primzahlen sind. Aber wie sieht es dann mit der Gleichung:

$\begin{eqnarray*} x² = 4 * y \end{eqnarray*}$

aus. Da kann ich dann ja nicht sagen, dass

$\begin{eqnarray*} 4|x \end{eqnarray*}$

Kann ich denn sonst was über einen Teiler von x sagen? Im Internet hab ich mal gefunden, dass man die Zahl mit Hilfe der Primfaktorzerlegung zerlegen soll also:

$\begin{eqnarray*} x² = 2 * 2 * y \end{eqnarray*}$

und dann würde man wissen, dass halt ,
$\begin{eqnarray*} 2|x \end{eqnarray*}$
da 2 eine Primzahl ist.

Stimmt das soweit?

20.02.2006, 15:14

20_Cent

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das müsste stimmen.
mfG 20

20.02.2006, 15:20

Mathefan

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Gut, aber wie sieht es dann z.B. aus mit:

$\begin{eqnarray*} x² = 14 \end{eqnarray*}$

Zerlegung:

$\begin{eqnarray*} x² = 2 * 7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} => 2 und 7 | x \end{eqnarray*}$

Aber hier wäre x = 3,74 und sofern ich weiß, teilt die 7 die 3,74 nicht gerade. Hab ich da was falsch gemacht? oder müssen wie beiden Faktoren gleich sein?

20.02.2006, 15:21

20_Cent

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der faktor muss quadratisch vorkommen, also in der primfaktorzerlegung zweimal, denn dann kommt er in x noch einmal vor.
mfg 20

20.02.2006, 15:21

AD

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Man kann es so formulieren: Die Implikation

$\begin{eqnarray*} n | z^2 \quad\Longrightarrow\quad n | z \end{eqnarray*}$

gilt für sämtliche Primzahlen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

Allerdings nicht nur für die, wenn man genauer nachdenkt: Sondern für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , in deren Primfaktorzerlegung jede Primzahl $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ nur in einfacher Potenz auftaucht. Für $\begin{eqnarray*} n = 14 =2^1\cdot 7^1 \end{eqnarray*}$ klappt es also auch.

20.02.2006, 15:42

Mathefan

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Widersprecht ihr euch beide nicht gerade?
Wenn der Faktor quadratisch vorkommt, dann kann er ja nicht in einfacher Potenz auftauchen, oder?

Und außerdem wenn man z.B. hier $\begin{eqnarray*} n = 14 \end{eqnarray*}$ setzt steht da z.B.:

$\begin{eqnarray*} 14 | 28 \end{eqnarray*}$ heißt aber doch nicht $\begin{eqnarray*} 14 | \sqrt{28} \end{eqnarray*}$

Oder wie ist das gemeint?

20.02.2006, 15:45

AD

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$\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ist natürlich als ganzzahlig vorausgesetzt, anders machen Teilbarkeitsbetrachtungen doch gar keinen Sinn.

20.02.2006, 15:46

therisen

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Also für mich ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{28} \notin \mathbb Q \supset \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Wie ist das bei dir?

Gruß, therisen

20.02.2006, 15:53

Mathefan

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Ahja gut eigentlich wollte ich das nur wissen um zu Beweisen wieso $\begin{eqnarray*} \sqrt{36} \end{eqnarray*}$ rational ist, ohne driekt $\begin{eqnarray*} 6 * 6 \end{eqnarray*}$ hinzuschreiben.

D.h. also es würde stehen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{36} = \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 36 = \frac{a²}{b²} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 36 * b² = a² \end{eqnarray*}$

und das war die Stelle, bei der ich mir nicht sicher war. Das 36 a² teilt ist ja klar, und wenn ich das jetzt in die Formel einsetze:

$\begin{eqnarray*} n|z² \Rightarrow n|z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 36|a² \Rightarrow 36|a \end{eqnarray*}$

Da aber $\begin{eqnarray*} 36 = 2 * 2 * 3 * 3 \end{eqnarray*}$ ist, stimmt es nicht. Gäbe es denn jetzt eine Möglichkeit rauszufinden, welche Zahl a teilt, wenn gilt $\begin{eqnarray*} 36|a² \end{eqnarray*}$ ? Natürlich kann man einfach die Wurzel ziehen, aber kann man das immer?

20.02.2006, 16:08

AD

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Da $\begin{eqnarray*} 6^2=36 \end{eqnarray*}$ ist, gilt auch $\begin{eqnarray*} \sqrt{36}=6 \end{eqnarray*}$ . Warum du künstlich versuchst, die Augen davor zu verschließen, ist mir nicht ganz klar. verwirrt

verwirrt

20.02.2006, 16:10

Gast0

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Zitat:

Original von Mathefan
Ahja gut eigentlich wollte ich das nur wissen um zu Beweisen wieso $\begin{eqnarray*} \sqrt{36} \end{eqnarray*}$ rational ist, ohne driekt $\begin{eqnarray*} 6 * 6 \end{eqnarray*}$ hinzuschreiben.

Warum, geht doch viel schneller.
Allgemein gilt aber : $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{N} \Rightarrow (\sqrt{x} \in \mathbb{Q} \Leftrightarrow \sqrt{x} \in \mathbb{N}) \end{eqnarray*}$
Also die Wurzel aus einer natürlichen Zahl ist immer entweder natürlich (genau dann wenn die Zahl eine Quadratzahl war) oder irrational.
Deine Argumentation ist falsch, da $\begin{eqnarray*} 36 \end{eqnarray*}$ keine Primzahl ist. Ist dir überhaupt klar, warum die von Arthur hingeschriebene Regel gilt? verwirrt

verwirrt

20.02.2006, 16:38

Mathefan

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Das ist es ja gerade - Ist mir leider nicht klar. Außer die Begründung warum

$\begin{eqnarray*} 2|x² \Rightarrow 2|x \end{eqnarray*}$

kann ich davon nichts wirklich beweisen. Kennt vielleicht jemand ne Seite oder Sonstiges wo das vielleicht ausführlich beschrieben wird?

P.s. Außerdem wurde doch von Arthur gesagt, dass die Regel auch bei Zahlen geht, die in ihrer Primfaktorzerlegung jede Primzahl nur in einfacher Potenz enthalten. Und da das bei 36 nicht der fall ist stimmt es ja logischerweise nicht.

Nur um mal zu fragen ob ichs denn jetzt wenigstens teils richtig behersche:
$\begin{eqnarray*} x² = 2 * 27 \end{eqnarray*}$
27 ist keine Primzahl also mach ich die Primfaktorzerlegung :
$\begin{eqnarray*} 3 * 3 * 3 \end{eqnarray*}$

Da die Primzahl "3" in dreifacher Potenz vorkommt und nicht in einfacher gilt:
$\begin{eqnarray*} 27 | x² \end{eqnarray*}$
aber nicht:
$\begin{eqnarray*} 27 | x \end{eqnarray*}$

Also wäre die Zahl die x teilt die Wurzel aus 27, oder?

Anderes Beispiel wäre:

$\begin{eqnarray*} x² = y * 25 \end{eqnarray*}$
25 ist keine Primzahl also wieder die Zerlegung:
$\begin{eqnarray*} 25 = 5 * 5 = 5² \end{eqnarray*}$
Also teilt 25 nicht x.
Hier wieder die Wurzel von x und 25 nehmen und man kommt auf:
$\begin{eqnarray*} 5|x \end{eqnarray*}$

Stimmt das alles, oder mach Ich doch noch fehler beim denken und rechnen?

20.02.2006, 19:14

Gast0

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Wir reden hier von Teilbarkeit von ganzen Zahlen, da ergibt es überhaupt keinen Sinn davon zu reden, dass die Wurzel aus 27 irgendeine Zahl teilt. Ich schlage vor, du siehst dir nochmal die Definitionen (z.B. hier und hier) an, sonst bringt das hier nicht viel.
Wenn eine Primzahl $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ eine ganze Zahl $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ teilt, dann muss diese in der Primfaktorzerlegung von $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ vorkommen. Da die Zerlegung von $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ keine anderen Primfaktoren besitzen kann als die von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , muss sie also (anschaulich) auch in der von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ vorkommen. Man kann Primzahlen übrigends auch so definieren, dass diese Eigenschaft direkt aus der Definition folgt (Wikipedia : Primelement)

20.02.2006, 19:22

Mathefan

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Ist denn 2 x 27 etwa keine ganze Zahl?

Naja egal werde mir das nochmal in Ruhe durchlesen, da mich weitere Fragen nur noch mehr verwirren werden. Trotzdem danke für die Hilfe.

mfG

20.02.2006, 19:24

AD

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Die Anmerkung von Gast0 bezog sich wohl eher auf diesen Unsinn:

Zitat:

Original von Mathefan
Also wäre die Zahl die x teilt die Wurzel aus 27, oder?

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