dreieck ABC. Punkt drinne oder außerhalb?

20.02.2006, 17:38

rochen

dreieck ABC. Punkt drinne oder außerhalb?

leutz, hab nen punkt im r3 gegeben. dann noch ein dreieck a b c. will nun schaun, ob der punkt im dreieck liegt was ist zu tun?

20.02.2006, 18:31

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Erstmal überprüfen, ob der Punkt überhaupt in der Ebene des Dreieck liegt! Was hast du überhaupt gegeben - die Koordinaten der vier beteiligten Punkte (fraglicher Punkt + Dreieckseckpunkte)?

20.02.2006, 18:34

rochen

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ja so siehts aus. ebenentest ist positiv nur das heißt ja noch nichts...

20.02.2006, 18:44

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Seien $\begin{eqnarray*} \vec{p},\vec{a},\vec{b},\vec{c} \end{eqnarray*}$ die vier Ortsvektoren. Wie du festgestellt hast, liegt $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ in der Dreiecksebene, gut. Über den Ansatz

$\begin{eqnarray*} \vec{p}-\vec{a} = s(\vec{b}-\vec{a})+t(\vec{c}-\vec{a}) \end{eqnarray*}$

kannst du jetzt die Parameter $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ausrechnen. $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ liegt nun genau dann innerhalb (oder auf dem Rand) des Dreiecks, falls $\begin{eqnarray*} 0\leq s\leq 1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 0\leq t\leq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s+t\leq 1 \end{eqnarray*}$ erfüllt sind.

20.02.2006, 18:58

rochen

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danke dir !

wie unterscheid ich denn zw. innerhalb und rand ?

20.02.2006, 19:03

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Auf dem Rand liegt der Punkt, falls irgendeins der fünf $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ hier

Zitat:

Original von Arthur Dent
falls $\begin{eqnarray*} 0\leq s\leq 1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 0\leq t\leq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s+t\leq 1 \end{eqnarray*}$

sogar ein $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ ist. Oder exakter formuliert:

$\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ liegt nun genau dann innerhalb des Dreiecks, falls $\begin{eqnarray*} 0<s<1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 0<t<1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s+t<1 \end{eqnarray*}$ erfüllt sind.

20.02.2006, 19:19

rochn

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ok, thx. einfacher gehts nich?

20.02.2006, 19:22

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Klar geht's einfacher: Aufmalen und nachschauen. Augenzwinkern

22.02.2006, 18:51

rochen

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hab noch eine frage dazu. wieso sollte ich ganz zu anfang schauen, ob der punkt in der ebene liegt? wenn das mit dem gleichungssystem so gemacht wird, und am ende noch s+t <= 1 gilt, ist doch alles ok oder nicht? oder muss ich dann auch noch den ebenentest vorangestellt haben !?

22.02.2006, 18:54

riwe

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du wolltest es doch möglichst einfach!
hätte ja sein können, dass nicht...
werner

23.02.2006, 18:57

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Zitat:

Original von rochen
hab noch eine frage dazu. wieso sollte ich ganz zu anfang schauen, ob der punkt in der ebene liegt? wenn das mit dem gleichungssystem so gemacht wird, und am ende noch s+t <= 1 gilt, ist doch alles ok oder nicht?

Du kannst dich auch gleich auf das GLS stürzen: Wenn der Punkt nicht in der Dreiecksebene liegt, hat dieses GLS mit 3 Gleichungen für die 2 Variable $\begin{eqnarray*} s,t \end{eqnarray*}$ nämlich gar keine Lösung! Augenzwinkern

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