Partielle Differentation mit Extrema

21.02.2006, 14:02	Ninschn	Auf diesen Beitrag antworten »
Partielle Differentation mit Extrema Hallo! In ner früheren Klausuraufgabe war folgende Funktion mit anschließenden Fragen gegeben: $\begin{eqnarray} f(x,y)= e^{x+y} y² + x^{2} e^x \end{eqnarray}$ a) Bilden Sie alle ersten und zweiten partiellen Ableitungen! Die wären nach meiner Rechnung: $\begin{eqnarray} f'(x)= y²e^{x+y} + 2x* e^x + x²e^x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(y)= e^{x+y}(y²+2y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x)= y²e^{x+y}+ e^x (x²+4x+2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(y)= e^{x+y}(y²+4y+2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x,y/y,x)= e^{x+y}(y²+2y) \end{eqnarray}$ (Ob jetzt zuerst nach x und dann nach y differenziert wird oder erst nach y und dann nach x ist ja egal) b) Geben Sie 2 Punkte an, für die f'(x) und f'(y) zugleich Null sind! Wenn ich f'(y) = 0 setze, dann könnte ich doch einmal sagen $\begin{eqnarray} e^{x +y}=0 \end{eqnarray}$ ist nicht definiert und $\begin{eqnarray} y^{2} +2y=0 \end{eqnarray}$ daraus folgt, y(y+2)=0 => y=0 oder y=-2 wenn ich jetzt 0 in f'(x) einsetze dann wird das ja null. Wäre dies somit ein erster gesuchter Punkt P(0/0)??? Wie schreibt man diesen Punkt überhaupt richtig?? Wie kommt man auf den 2. Punkt? d) Finden Sie lokale Extremstellen! Hilfe wie geht das denn? Bei Gleichungen mit einer Variablen kann ich das - erste Ableitung gleich 0 setzen... aber hier gibt es ja schon 2 1. Ableitungen..... Falls das jemand rechnen kann - bitte, bitte helfen!!! Vielen Dank Dieses Thema wurde leider nicht sehr ausführlich besprochen, ist aber klausurrelevant... :-(
22.02.2006, 13:38	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partielle Differentation mit Extrema Hallo, Der erste Punkt (0,0) ist richtig,da auch $\begin{eqnarray} f_x(0,0)=0 \end{eqnarray}$ ist.(Punkt hat im IR^2 immer 2 Koordianaten) Für den zweiten setze $\begin{eqnarray} f_x(x,-2)=0 \end{eqnarray}$ und löse mit pq-Formel nach x auf. So hast du sogar drei Punkte. Zu b) Auch hier entscheiden die 2.Ableitungen darüber ob min., max. oder Sattelpunkt. Dazu brauchst du die Hesse-Matrix (link) . mfg, phi.

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