Ähnliche Matrizen

21.02.2006, 14:18

Daktari

Ähnliche Matrizen

Zwei n*n MAtrizen $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ heißen ähnlich ,falls eine Matrix $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} GL_n(K) \end{eqnarray*}$ existiert mit [latex]A=U*B*U^(-1)[latex]

Was ich nicht verstehe ist, dass ich der Ansicht bin dass U*B*U^(-1) immer B sein muss. Damit wäre A=B und man hätte Gleichheit, aber keine Ähnlichkeit...

Ich weiß zwar dass Matrizenmultiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ ist, auser beim Rechnen mit der Einheitsmatrix oder dem Inversen...

Wäre U*B=E dass wäre A=U^(-1) und somit ist das Inverse zu B ähnlich zu A ????????

Ich versteh echt nix unglücklich

Kann sich da jemand Zeit nehmen Klo

und mir das erklären ?
Ich danke euch schon jetzt

22.02.2006, 09:56

Mazze

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Nehmen wir an A ist ähnlich zu B und UB = I. Aus der Eindeutigkeit der inversen folgt das

$\begin{eqnarray*} U^{-1} = B \end{eqnarray*}$

sein muss. Sei nun

$\begin{eqnarray*} A = UBU^{-1} \end{eqnarray*}$

Dann ist also

$\begin{eqnarray*} A = UBU^{-1} = UU^{-1}U^{-1} = IU^{-1} = U^{-1} \end{eqnarray*}$

Dann ist wohl A = B. Das gilt aber nur wenn UB = I ist was es im Normalfall nicht ist.

Damit hätten wir gezeigt das jede Matrix zu sich selbst ähnlich ist (zumindest wenn sie invertierbar ist, gilt aber i.A. für jede quadratische Matrix Augenzwinkern

)

Zitat:

Was ich nicht verstehe ist, dass ich der Ansicht bin dass U*B*U^(-1) immer B, Damit wäre A=B und man hätte Gleichheit, aber keine Ähnlichkeit...

Wenn zwei Matrizen gleich sind, sind sie auf jeden Fall auch ähnlich! Im allgemeinen ist aber $\begin{eqnarray*} UBU^{-1} \end{eqnarray*}$ nicht gleich B, sonst hätte es auch keinen Sinn Ähnlichkeit zu betrachten.

folgendes Beispiel:

Seien

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} , B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Matrizen sind ähnlich nämlich mit

$\begin{eqnarray*} U = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, U^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist $\begin{eqnarray*} A = UBU^{-1} \end{eqnarray*}$

Ich verstehe Dein problem nicht so ganz.

22.02.2006, 12:01

Ben Sisko

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RE: Ähnliche Matrizen

Zitat:

Original von Daktari
Was ich nicht verstehe ist, dass ich der Ansicht bin dass U*B*U^(-1) immer B sein muss. Damit wäre A=B und man hätte Gleichheit, aber keine Ähnlichkeit...

Ich weiß zwar dass Matrizenmultiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ ist

Dann weisst du auch, dass $\begin{eqnarray*} UBU^{-1} \end{eqnarray*}$ nicht immer gleich B ist.
Nehmen wir nämlich mal an, dass $\begin{eqnarray*} UBU^{-1}=B \end{eqnarray*}$ . Dann multiplizieren wir von rechts mit U, dann ergibt sich
$\begin{eqnarray*} UBU^{-1}U=BU \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow UB=BU \end{eqnarray*}$

Dass das aber nicht immer gilt, weisst du ja Augenzwinkern

Gruß vom Ben

23.02.2006, 16:21

Daktari

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Mit dem Beweis dass jede Matrix zu sich ähnlich ist, ist mir einiges klarer geworden Tanzen

. Danke.
Danke auch an Ben, dieser Beitrag hat mir sehr geholfen.

Zitat:

Original von Mazze

Wenn zwei Matrizen gleich sind, sind sie auf jeden Fall auch ähnlich! Im allgemeinen ist aber $\begin{eqnarray*} UBU^{-1} \end{eqnarray*}$ nicht gleich B, sonst hätte es auch keinen Sinn Ähnlichkeit zu betrachten.

folgendes Beispiel:

Seien

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} , B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Matrizen sind ähnlich nämlich mit

$\begin{eqnarray*} U = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, U^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist $\begin{eqnarray*} A = UBU^{-1} \end{eqnarray*}$

Ich verstehe Dein problem nicht so ganz.

1.)Wie kommt man aber auf das U? setzt man da eine allgemeine MAtrix U mit den Einträgen $\begin{eqnarray*} a_{11}, a_{12}, ... , a_{nn} \end{eqnarray*}$ an, multipliziert diese Matrix mit B und das Produkt anschließend mit dem Inversen von U und vergleicht anschließend die Koeffizienten? Gibt es einen einfacheren Weg ?

2.)Andere Frage.
Sei A die Matrix, die aus elementaren Zeilenumformungen aus B hervorgeht. Dann soll ich zeigen, dass rg(A) = rg(B) ist.
Dies ist offensichtlich, da A vmtl. ähnlich zu B ist und der Rang ähnlicher Matrizen ist gleich (Satz)

Wie schreibt man aber das richtig auf?
Seien $\begin{eqnarray*} L_1, L_2, ... , L_r \end{eqnarray*}$ die Elementaren Zeilenumformungen, so dass $\begin{eqnarray*} A=L_r*...*L_1*B \end{eqnarray*}$ , dann definiere ich $\begin{eqnarray*} A=L_r*...L_1 := L \end{eqnarray*}$ und damit ist $\begin{eqnarray*} A=L*B \end{eqnarray*}$

Wenn man annimmt, dass A ähnlich ist zu B, dann existiert eine Matrix U aus $\begin{eqnarray*} GL_n(K) \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} A= U*B*U^{-1} \end{eqnarray*}$ mit dem oben erwähnten Satz folgt rg(A) = rg(B)
Wie begründet/beweist man, dass die Matrizen A,B ähnlich sind ?
Bzw. stimmt mein bisheriger Ansatz?

23.02.2006, 17:27

Mazze

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Zu Deiner ersten Frage:

Das U ist im allgemeinen schwer zu bestimmen. Ich hab hier aber eine Diagonalisierbare Matrix gewählt. Die Spalten von U sind dann die Eigenvektoren, geht aber nur bei diagonalisierbaren Matrizen. Im allgemeinen ist es wohl nicht so einfach die Matrizen zu finden so das A ähnlich zu B ist.

zu Deiner zweiten Frage:

Ich würde an Deiner Stelle zeigen das jede Matrix zu einer Matrix in Zeilenstufenform ähnlich ist. Die Transformationsmatrizen ergeben sich aus den Spalten/Zeilenumformungen.

24.02.2006, 03:21

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Mazze
Zu Deiner ersten Frage:

Das U ist im allgemeinen schwer zu bestimmen. Ich hab hier aber eine Diagonalisierbare Matrix gewählt. Die Spalten von U sind dann die Eigenvektoren, geht aber nur bei diagonalisierbaren Matrizen. Im allgemeinen ist es wohl nicht so einfach die Matrizen zu finden so das A ähnlich zu B ist.

Im allgemeinen muss man Basen von Haupträumen bestimmen. Das wird auch im Vorfeld der Jordan-Normalform behandelt.

Tröste dich Daktari, mir wurde das Ganze auch erst richtig klar, als ich den gesamten Stoff vor mir hatte und einen Überblick bekam.

Gruß vom Ben

24.02.2006, 09:20

Mazze

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Zitat:

Im allgemeinen muss man Basen von Haupträumen bestimmen. Das wird auch im Vorfeld der Jordan-Normalform behandelt.

Wenn Du die JNF haben willst. Oder kann man über die Haupträume Ähnlichkeiten zu jeder bel. Matrix bestimmen? Also etwa

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} , P = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann ist A ähnlich zur Matrix

$\begin{eqnarray*} B = -\frac{1}{3} \begin{pmatrix} -5 & -17 \\ -4 & -10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} PAP^{-1} = B \end{eqnarray*}$
Hätten wir nur A und B würde man P über die Haupträume kriegen?

24.02.2006, 15:18

Ben Sisko

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Ich denke man müsste beide Matrizen auf ihre JNF bringen (die ja gleich ist!). Produkt der Transformationsmatrizen liefert dann dein P.

Gruß vom Ben

24.02.2006, 17:08

Mazze

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Keine schlechte Idee Freude

Die JNF ist gleich also ist

$\begin{eqnarray*} P^{-1}AP = J , U^{-1}BU = J \end{eqnarray*}$

und dann ists ja einfach (einfach im relativen Sinne ^^ ).

$\begin{eqnarray*} P^{-1}AP = U^{-1}BU \end{eqnarray*}$

den Rest spar ich mir. Prost

24.02.2006, 23:09

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Mazze
Keine schlechte Idee Freude

Danke

Bin allerdings nicht sicher, ob dies der einfachste/eleganteste Weg ist.

Wem ein besserer Weg einfällt: Bitte melde dich!

Gruß vom Ben

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