komplementäre matrix

22.02.2006, 09:38

kingskid

komplementäre matrix

guten morgen!

wie berechne ich denn die komplementäre matrix zu einer gegebenen?
also bei 2x2 krieg ich das glaub noch hin:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

--> $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also ich vertausch die elemente der hauptdiagonale und nehm das inverse von denen auf der nebendiagonale.
aber wie funktioniert das bei größeren matrizen???? verwirrt

22.02.2006, 09:58

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst Du mit komplementärer Matrix die Inverse?

22.02.2006, 10:34

Crotaphytus

Auf diesen Beitrag antworten »

Funktioniert prinzipiell so: Du schreibst die Matrix auf und die Einheitsmatrix daneben. Dann machst du mit der linken Matrix so lang elementare Umformungen, bis da die Einheitsmatrix steht. Jede Umformung, die du vornimmst, wird genauso auf die rechte Matrix angewandt. Wenn du dich nicht verrechnet hast, steht am Ende rechts die Einheitsmatrix dran...

22.02.2006, 11:02

brunsi

Auf diesen Beitrag antworten »

falls die Inverse gemeint sein sollte, dann könntest du auch über die Adjunkten gehen. aber die Vorgehensweise mit dem Gaußalgorithmus, die Crotaphytus beschrieben hat ist einfacher, wenn man den Gauß-Algorithmus Variante 2 sehr gut beherrscht.

22.02.2006, 12:51

kingskid

Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die antworten, ich mein aber schon die komplementäre matrix!
hab da grad selbst noch was gefunden:

$\begin{eqnarray*} kompl.(A) = A^{-1} * det (A) \end{eqnarray*}$

stimmt das??

und dann hab ich noch bei ner aufgabe nen zwischenschritt den ich nicht verstanden hab... als Abbildungsmatrix kommt heraus

$\begin{eqnarray*} A ^f = \frac {1}{det (A)} * B \end{eqnarray*}$

und dann um die Determinante der Abbildungsmatrix zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} det (A^f) = \frac{1} {det(A)³} * det (B) \end{eqnarray*}$

B ist eine 3x3 Matrix, die ich jetzt nicht abtippen wollte...
mir ist dabei nicht klar, warum ich det (A) "hoch 3" nehmen muss ???

22.02.2006, 13:54

Ben Sisko

Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Klärung der Begriffe: Die komplementäre Matrix ist die adjunkte, die brunsi schon angesprochen hat, vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Minor_%28Ma....C3.A4re_Matrix

Zitat:

Original von kingskid
B ist eine 3x3 Matrix, die ich jetzt nicht abtippen wollte...
mir ist dabei nicht klar, warum ich det (A) "hoch 3" nehmen muss ???

Multilinearität der Determinanten.

22.02.2006, 14:26

kingskid

Auf diesen Beitrag antworten »

danke für den link.das ist aber alles viel zu abstrakt für mich... traurig

hab hier diese matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 7 & 5 \\ 1 & 1 & 1 \\ 6 & 14 & 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wie muss ich da rangehen die komplementäre zu bestimmen??

das mit der Inversen hab ich verstanden, nur funktioniert das hier glaub nicht da die det(A) = 0 ist (falls ich mich nicht verrechnet hab)

Zitat:

Multilinearität der Determinanten

kannst du mir das bitte genauer erklären ??? unglücklich

22.02.2006, 14:39

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

kannst du mir das bitte genauer erklären ???

Ich erklärs Dir mal. Also von einer oberen Dreiecksmatrix bestimmt man die Determinate indem man die Diagonalelemente multipliziert. So folgende Matrix

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Determinante davon ist 1.

Was passiert jetzt wenn ich die erste Zeile mit 2 multipliziere? Nun, die Determinante wäre dann 2*1*1. Was passiert wenn ich die ganze Matrix mal 2 nehme? Dann ist die Determinante doch 2*2*2, also

$\begin{eqnarray*} 2^3 \cdot det(A) = det(2A) \end{eqnarray*}$ .

So einfach ist das. Probier das mal mit anderen oberen Dreiecksmatrizen aus, dann verstehst Du das auch. Ist zwar kein Beweis aber da Du jede Matrix mit Zeilenumformungen (vorsicht Zeilen vertauschen ändert Vorzeichen der Determinante !) auf Zeilenstufenform bringen kannst ist das ansich recht einsichtig. Augenzwinkern

22.02.2006, 14:49

kingskid

Auf diesen Beitrag antworten »

cool, danke dir vielmals für das anschauliche beispiel - so ist das einleuchtend *lichtaufgeh* !! smile

jetzt würde ich nur noch seeehr gerne wissen, wie ich von der matrix oben die komplementäre bestimmen kann.
das ergebnis hab ich zwar, aber den weg dorthin leider nicht....

22.02.2006, 14:53

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

So, wie es im Link von Ben Sisko steht. Hier wäre die Adjunkte also

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 14 & 10 \end{vmatrix} & - \begin{vmatrix} 7 & 5 \\ 14 & 10 \end{vmatrix} & + \begin{vmatrix} 7 & 5 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \\ - \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 6 & 10 \end{vmatrix} & + \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 6 & 10 \end{vmatrix} & - \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \\ + \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 6 & 14 \end{vmatrix} & - \begin{vmatrix} 3 & 7 \\ 6 & 14 \end{vmatrix} & + \begin{vmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(Das sind alles 2×2-Determinanten in der großen Matrix. Leider hat Latex mir hier die Striche durchgezogen, die wären aber jeweils zu trennen.)

In der $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -ten Zeile und $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ -ten Spalte steht die Determinante der Matrix, die aus der gegebenen durch Streichen der $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -ten Spalte und $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ -ten Zeile entsteht (beachte hier, wann es Zeile und wann Spalte heißt). Die Vorzeichen folgen dem Schachbrettmuster, links oben mit Plus beginnend.

22.02.2006, 15:00

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Also erstmal:

Unterdeterminante/Minor

Der Minor einer quadratischen Matrix A ist die Matrix die herauskommt wenn man eine Zeile und eine Spalte streicht. Die Determinante dieser Matrix heißt Unterdeterminante. Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 7 & 5 \\ 1 & 1 & 1 \\ 6 & 14 & 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wir streichen die erste Spalte und erste Zeile, heraus kommt :

$\begin{eqnarray*} M_{11} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 14 & 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So wir definieren jetzt allgemein:

$\begin{eqnarray*} M_{ij} \end{eqnarray*}$ ist der Minor von A wobei die i-te Zeile und die j-te Spalte gestrichen wurde. Die Adjunkte Matrix ist dann ganz allgemein

$\begin{eqnarray*} [(-1)^{i+j} \cdot det(M_{ij})]_{ij} \end{eqnarray*}$

Das heißt, an der Stelle i,j der Adjunkten Matrix steht als Eintrag
$\begin{eqnarray*} (-1)^{i+j} \cdot det(M_{ij}) \end{eqnarray*}$

Beispiel: Wir greifen Deine Matrix auf, ich nenne Dir den ersten Eintrag.

$\begin{eqnarray*} a_{11} = (-1)^{1+1} \cdot det(M_{11}) \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} a_{11} = -4 \end{eqnarray*}$

Das musste halt jetzt für jeden Eintrag der Matrix machen.

edit:

Zu spät, übrigens das von Leopold genannte Schachbrettmuster ist genau das was ich als $\begin{eqnarray*} (-1)^{i+j} \end{eqnarray*}$ geschrieben hab, nur um Verwirrung zu vermeiden.

22.02.2006, 15:38

kingskid

Auf diesen Beitrag antworten »

oh,... vielen vielen dank für eure hilfe, ihr könnt echt gut erklären !! Freude

nur was mich noch etwas verwirrt hat, das mit den zeilen und spalten. ich muss praktisch wenn ich die ganzen $\begin{eqnarray*} a_{11} \end{eqnarray*}$ .. bis $\begin{eqnarray*} a_{33} \end{eqnarray*}$ ausgerechnet hab, die zeilen in die spalten und die spalten in die zeilen schreiben, oder?! ...so hat's leopold ja auch eingegeben.

weil dann komm ich auf das ergebnis aus den lösungen *juhuu* Augenzwinkern

many many THX!

22.02.2006, 16:46

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Transponieren hab ich dann glatt untern Tisch fallen lassen. Ja ist scho richtig mit dem tauschen am Ende Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

komplementäre matrix

Verwandte Themen