Reihe - Indexverschiebung?

22.02.2006, 15:46

antykoerpa

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Reihe - Indexverschiebung?

Hallo,
dies ist eine der Aufgaben, die mir in der letzten Matheklausur das Genick gebrochen haben:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty~\frac{2^{n+1}}{3^{n-1}} \end{eqnarray*}$

Wir sollten hier schauen, ob die Reihe konvergent / divergent ist.
Das was mich am meißten aus dem Tritt gebracht hat, war hier die Tatsache, dass n nicht bei 0 anfängt, sondern bei 2. Dazu ersteinmal eine generelle Frage: Wenn ich das Qutiontenkriterium, Wurzelkriterium oder auch andere Kriterien anwenden will, ist es dann wichtig, dass die Reihe bei einem bestimmten n startet? Müsste ich dann hier eine "Indexverschiebung" vornehmen?

Jetzt zur eigentlich Aufgabe. Ich kann mich daran erinnern, dass der Prof in der Klausur gesagt hat, dass wir da mit dem Quotientenkriterium nicht weit kommen. Kann mir jemand von Euch Ansätze geben?

Vielen Dank für Eure Mühe
Gruß antykoerpa

22.02.2006, 15:57

klarsoweit

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RE: Reihe - Indexverschiebung?
2^(n+1) = 4 * 2^(n-1) Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das Qutotientenkriterium sollte aber trotzdem gehen. Ist aber Kanonen auf Spatzen.

22.02.2006, 15:59

therisen

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Hallo,

ich würde zuerst umformen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty~\frac{2^{n+1}}{3^{n-1}}= \sum_{n=2}^\infty~\frac{2^{n}\cdot 2}{3^{n}\cdot 3^{-1}}=6 \cdot \sum_{n=2}^\infty~\frac{2^{n}}{3^{n}}= 6 \left(-\frac{2}{3}+ \sum_{n=1}^\infty~ \left( \frac{2}{3} \right)^n \right) \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

22.02.2006, 16:22

antykoerpa

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@klarsoweit: war das ne verschiebung, die du vorgenommen hast? wenn ja, warum? muss man das immer machen, wenn der index nicht bei 0 beginnt?

@therisen: sehr elegant und doch so elementar. warum ich nie auf sowas komme...

22.02.2006, 17:55

Lazarus

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klarsoweit hat lediglich zweimal die die 2 aus 2^(n+1) rausgezogen um 2^(n-1) zu bekommen.

ist genauso elementar und elegant wie von therisen, ders nur geringfügig anders gemacht hat.

servus

22.02.2006, 19:32

klarsoweit

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RE: Reihe - Indexverschiebung?

Zitat:

Original von antykoerpa
Wir sollten hier schauen, ob die Reihe konvergent / divergent ist.

Sollst du nur auf Konvergenz prüfen oder auch den Reihenwert berechnen?

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23.02.2006, 14:17

antykoerpa

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Ersteinmal vielen Dank für Eure Hilfe.
Eine Frage habe ich allerdings noch: Ist es egal, ob der Index bei 0 anfängt? Was muss man da bei Anwendung der Kriterien beachten? Muss z.B. für die Anwendung des QK der Index bei 0 anfangen? Oder ist das irrelevant?
@klarsoweit: Wenn möglich sollten wir auch den Reihenwert ermitteln.
Was genau hat dir das zweimalige Ausklammern gebracht, außer dass nun im Zähler und im Nenner jeweils der gleiche Exponent steht?

EDIT: Weiß jetzt wohl was die gleichen Exponenten bringen. das ist dann ja eine geometrische Reihe. Bzw. war sie das auch vorher, nun kann man's allerdings sehen. *g*

Danke!
Das Board ist echt super. Prost

Prost

23.02.2006, 14:27

klarsoweit

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RE: Reihe - Indexverschiebung?
$\begin{eqnarray*} \frac{2^{n+1}}{3^{n-1}} = 4 \cdot \frac{2^{n-1}}{3^{n-1}} = 4 \cdot (\frac{2}{3})^{n-1} \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du die Reihe mit Indexverschiebung und Einfügen fehlender Anfangssummanden auf das exakte Format der geometrischen Reihe bringen. Für die Konvergenz (also auch für das Quotientenkriterium) ist es unerheblich, wo die Reihe anfängt.

23.02.2006, 14:38

antykoerpa

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RE: Reihe - Indexverschiebung?
Ok, bis hierhin ist mir das nun alles klar:
$\begin{eqnarray*} \frac{2^{n+1}}{3^{n-1}} = 4 \cdot \frac{2^{n-1}}{3^{n-1}} = 4 \cdot (\frac{2}{3})^{n-1} \end{eqnarray*}$
Nochmal vollständig ausgeschrieben wäre das ja dann:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty~4 \cdot (\frac{2}{3})^{n-1} = 4 \cdot \sum_{n=2}^\infty~(\frac{2}{3})^{n-1} \end{eqnarray*}$
Soweit ich weiß ist die geometrische Reihe definiert als:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~q^{n-1} \end{eqnarray*}$

So, ich versuch das nun folgendermaßen: Also der Exponent ist bereits in der richtigen Form $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ . Allerdings ist der Index noch einen zu hoch. Wenn ich den Index um eins dekrementiere, dann wäre ja theoretisch ein $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ zuviel in der Summe. Ich vermute nun einfach mal, dass ich das deswegen am Ende wieder abziehen muss!? Also so:
$\begin{eqnarray*} -\frac{2}{3} + 4 \cdot \sum_{n=1}^\infty~(\frac{2}{3})^{n-1} \end{eqnarray*}$

Hmm, je länger ich mir das ansehe, desto weniger glaube ich an die Richtigkeit meines Weges.... Kotzen

Kotzen

Was sagt ihr dazu!?

23.02.2006, 14:45

klarsoweit

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RE: Reihe - Indexverschiebung?
Fast richtig, du mußt den Faktor 4 beachten und der 1. Summand ist eine 1:
$\begin{eqnarray*} 4 \cdot \sum_{n=2}^\infty~(\frac{2}{3})^{n-1} = 4 \cdot (-1 + \sum_{n=1}^\infty~(\frac{2}{3})^{n-1}) \end{eqnarray*}$

23.02.2006, 14:50

antykoerpa

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Oh, der 1. Summand ist eine '1'? Wie kommt's?? Das kann ich mir so ad-hoc nun nicht erklären. Dann kommt das $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ da gar nicht drin vor?

Das mit dem Faktor 4, also das ich den so beachten muss leuchtet mir natürlich ein.

Den Wert der Reihe kann ich dann nun folgendermaßen berechnen, oder:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-\frac{2}{3}} = 3 \end{eqnarray*}$

Soweit so klar. Wie gesagt, das einzige was ich nicht verstehe ist dsa mit der 1.

Klasse, dass du so viel GEduld mit mir hast smile

smile

Dange

smile

23.02.2006, 15:00

klarsoweit

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RE: Reihe - Indexverschiebung?
Ich meinte den 1. Summand von $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~(\frac{2}{3})^{n-1} \end{eqnarray*}$ . Das ist (2/3)^0 = 1. Und der fehlt in der Reihe, die bei n=2 anfängt. Der Summand 2/3 kommt in beiden Reihen vor.

Der Wert der Reihe stimmt.

23.02.2006, 15:05

antykoerpa

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Ja super, ich habs geschnallt Tanzen

Tanzen

Aber: Was hat uns das alles nun gebracht, außer dass ich den Reihenwert berechnen konnte. Ich meine, der Faktor 4, und die (-1) sind doch nun eigentlich völlig uninteressant. Und das alles hat ja selbstverständlich und logischerweise auch nichts am Reihenwert geändert. Wofür also der ganze Stress? Anfangsaufgabe war ja, bestimmen ob die Reihe konvergiert. Musste ich das deshalb alles machen!?

23.02.2006, 15:11

therisen

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Zitat:

Original von antykoerpa
Aber: Was hat uns das alles nun gebracht, außer dass ich den Reihenwert berechnen konnte. Ich meine, der Faktor 4, und die (-1) sind doch nun eigentlich völlig uninteressant. Und das alles hat ja selbstverständlich und logischerweise auch nichts am Reihenwert geändert. Wofür also der ganze Stress? Anfangsaufgabe war ja, bestimmen ob die Reihe konvergiert. Musste ich das deshalb alles machen!?

endlicher Reihenwert => Konvergenz der Reihe Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß, therisen

23.02.2006, 15:13

klarsoweit

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Deswegen habe ich ja gefragt, ob du nur die Konvergenz oder auch den Reihenwert bestimmen sollst. Und dann kommt es noch auf die Aufgabenstellung an. Darfst du das Quotientenkriterium verwenden, dann nimm das. Sollst du es auf eine geometrische Reihe zurückführen, dann mußt du es eben mit diesen Umformungen tun.

23.02.2006, 15:15

antykoerpa

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Ok, dann fasse ich das nun nochmal zusammen:

Umformungen (Faktor 4, (-1)) wurden vorgenommen um zu sehen, dass es sich um eine geometrische Reihe handelt. Nicht mehr und nicht weniger. Einfach nur dafür!? Das ist ja simpel. Rock

Rock

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