Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung

04.06.2008, 12:07

dipo01

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Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung

hallo zusammen

hab ein bsp bei dem man die extremwerte einer funktion unter der verwendung der gegebenen nebenbedinungn lösen soll.

Die Funktion lautet:

$\begin{eqnarray*} f_{(x,y)}=cos^2(x)+2sin^2(y) \end{eqnarray*}$

Die Nebenbedingung:

$\begin{eqnarray*} y-x=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

unter verwendung der expliziten methode forme ich die NB auf y um und setzte in die Funktion ein um f(x) zu erhalten:

$\begin{eqnarray*} f_{(x)}=cos^2(x)+2sin^2(\frac{\pi}{2}+x) \end{eqnarray*}$

abgeleitet erhalte ich dann:

$\begin{eqnarray*} f_{x(x)}=-6sin(x)cos(x) \end{eqnarray*}$

so, ich hoffe bis hier hin stimmt meine lösung.

kann mir vielleicht jemand einen kleinen tipp geben, wie ich die gleichung fx = 0 jetzt lösen kann?!?!
also:

$\begin{eqnarray*} -6sin(x)cos(x)=0 \end{eqnarray*}$

lg ulrich.

04.06.2008, 12:09

Orakel

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RE: Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung
wo ist da das problem? aus

$\begin{eqnarray*} \sin x\cos x=0 \end{eqnarray*}$

folgt $\begin{eqnarray*} \sin x=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \cos x=0 \end{eqnarray*}$ und die nullstellen dieser elementaren funktionen sollten bekannt sein!

04.06.2008, 12:17

dipo01

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ja schon, für sin pi und cos pi/2

in der lösung finde ich folgendes:

$\begin{eqnarray*} (k\pi/2, (k+1)\pi/2),k\in Z;c) \end{eqnarray*}$

04.06.2008, 12:43

Orakel

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das liegt daran, dass die sinus- bzw. kosinusfunktion periodisch sind. die nullstellen der sinusfunktion findest du bei

$\begin{eqnarray*} x_k=k\pi,\quad k\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

und die nullstellen der cosinusfunktion liegen bei

$\begin{eqnarray*} x_k=k\pi+\pi/2,\quad k\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .

04.06.2008, 13:18

dipo01

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alles klar Freude

Freude

vielen dank!

04.06.2008, 19:44

dipo01

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doch nicht ganz klar...

ich hab jetzt die nullstellen aber wie komm ich damit jetzt auf die bereits genannten lösung:

$\begin{eqnarray*} (k\pi/2,(k+1)\pi/2),k\in \mathbb Z ;c) \end{eqnarray*}$

die werte die ich bei den nullstellen raus bekomme muss ich doch normalerweise in die NB einsetzen oder?
aber dabei erhalte ich auch nicht die gesuchte lösung...

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04.06.2008, 21:46

Dual Space

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Was bedeutet eigentlich dieses c in der Lösung? Außerdem Fehlt da eine Klammer, oder es ist eine zuviel.

Du hast bisher nur die stationären/kritischen Punkte bestimmt. Die Aufgabe fragt aber nach Extremstellen.

04.06.2008, 22:03

dipo01

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ich hab da was zuviel aus der lösung rauskopiert, sry... richtig sollte sein:

$\begin{eqnarray*} (k\pi/2,(k+1)\pi/2), k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

heißt das, ich muss das nochmal ableiten und 0 setzen?

04.06.2008, 22:17

Dual Space

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RE: Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung
Wie lautet die hinreichende Bedingung für einen Extremwert?

04.06.2008, 22:17

AD

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Wie immer bin ich natürlich so ketzerisch, auf eine viel einfachere Lösung hinzuweisen:

Wegen $\begin{eqnarray*} \sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right) = \cos(x) \end{eqnarray*}$ kann man auch gleich

$\begin{eqnarray*} f_{(x)} = \cos^2(x)+2\sin^2\left(\frac{\pi}{2}+x\right) = 3\cos^2(x) \end{eqnarray*}$

umformen, womit man die Extremwerte sogar ganz ohne jegliche Differenzialrechnung ermitteln kann, und das im Handumdrehen.

04.06.2008, 22:20

Dual Space

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Hehe ... ich habe mir auch eben erst die eigentliche Aufgabe durchgelesen (vielleicht hat jemand mein Editmarathon bemerkt).

Aber die Frage im Eröffnungspost war ja ganz klar nur nach der Lösung der Gleichung cos(x)sin(x)=0. Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.06.2008, 22:27

dipo01

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Zitat:

Original von Dual Space
Aber die Frage im Eröffnungspost war ja ganz klar nur nach der Lösung der Gleichung cos(x)sin(x)=0. Augenzwinkern

Augenzwinkern

will jetzt nicht extra einen neuen thread starten deswegen...
und vielleicht kann mir ja trotzdem jemand helfen.

ich hab doch bei anderen maximalwertaufgaben auch so gerechnet, den x oder y wert in die nebenbedingungen eingesetzt, diese in die funktion eingesetzt und hatte so meine extremwerte...

aber warum funktioniert das hier nicht so?

05.06.2008, 09:31

dipo01

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niemand einen tipp für mich?!?!

05.06.2008, 09:45

Dual Space

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Steht doch schon alles da.

$\begin{eqnarray*} -6\cos(x)\sin(x)=0 \end{eqnarray*}$

genau dann wenn $\begin{eqnarray*} x=m\pi=\frac{2m\pi}{2} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x=2m+\frac{\pi}{2}=\frac{(2m+1)\pi}{2} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} m\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ist.

Dies ist aber gleichbedeutend damit, dass $\begin{eqnarray*} x=\frac{k\pi}{2} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .

Wegen $\begin{eqnarray*} x-y=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ , ist also die Menge $\begin{eqnarray*} S=\left\{\left(\frac{k\pi}{2},\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right):k\in\mathbb{Z}\right\} \end{eqnarray*}$ die Menge der stationären Punkte.

Allerdings fehlt noch die Begründung, warum all diese kritischen Punkte Extremstellen (also keine(!) Sattelpunkte) sind.

05.06.2008, 09:49

dipo01

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aber muss man bei maximalwertberechnungen das ergebnis nicht normalerweise in die NB einsetzen?

05.06.2008, 09:52

Dual Space

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Das ist bereits geschehen, um die y-Komponente $\begin{eqnarray*} \frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ der kritischen Punkte zu errechnen.

05.06.2008, 10:16

dipo01

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vielen dank für deine hilfe!
kann man in diesem forum keine punkte vergeben???

05.06.2008, 10:19

Dual Space

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Nein. Punkte vergeben kann man nicht.

05.06.2008, 10:27

dipo01

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schade, trotzdem besten danK!!

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