Ecktransversale und Höhe

04.06.2008, 14:57

Blümlein

Ecktransversale und Höhe

Hallo, ich bin ein bissel verzweifelt... Vielleicht könnt ihr mir ja helfen, also ich soll über den Satz von Stewart die Höhenformel in einem allgemeinen Dreieck zeigen und habe jeweils den Anfang und die Lösung gegeben, weiß aber nicht wie ich das zeigen soll.

Satz von Stewart:
Wir haben ein Dreick ABC mit einer Ecktransversalen CD. Sei CD eine Ecktransversale der Länge d, die die Strecke AB in zwei Strecken mit den Längen AD und DB teilt, dann gilt:
$\begin{eqnarray*} c(d^2 + ef) = a^2 e + b^2 f \end{eqnarray*}$

Rauskommen soll für die Höhe auf der Strecke c (im Netz gefunden):
$\begin{eqnarray*} h_c = \frac{2}{c} \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p= \frac{a+b+c}{2} \end{eqnarray*}$

Allerdings fehlt mir halt der kleine Trick, den man denke ich zunächst finden muss, bevor man das rausbekommen kann, nur leider kann ich absolut keine wichtige Beziehung in dem Dreieck finden, außer die 90°Winkel der Höhe an die Seite c, aber die helfen mir ja auch nicht...

Habt ihr vielleicht einen Tipp?

LG Blümlein

04.06.2008, 17:09

Blümlein

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Achso, was mir halt noch eingefallen ist oder was ich schon wußte, $\begin{eqnarray*} d^2 \end{eqnarray*}$ müsste demnach für die Höhe stehen... Und vielleicht habe ich mich blöd ausgedrückt, aber ich soll halt aus dieser Gleichung (Satz des Stewarts) die Formel für die Höhe ausrechnen/beweisen, das wäre dann die, die ich angegeben habe.

Wäre schön, wenn jemand eine Idee hätte...

04.06.2008, 19:08

Rare676

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Da in der Formel nur noch a,b,c zu sehen sind, solltest du vllt versuchen e und f durch diese darzustellen...

04.06.2008, 20:00

Blümlein

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Ja soweit war ich auch, aber ich bekomme durch Anwendung der Strahlensätze nur die Formeln für e und f raus, die man zur Herleitung der Forml für die Winkelhalbierenden braucht...

05.06.2008, 00:15

Mathegreis

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Schau doch mal hier, vielleicht hilft Dir das weiter:

www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/htm...cle.php?sid=998 - 63

Gruß

05.06.2008, 12:47

riwe

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Zitat:

Original von Mathegreis
Schau doch mal hier, vielleicht hilft Dir das weiter:

www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/htm...cle.php?sid=998 - 63

Gruß

mit diesem link geht´s sehr hübsch

$\begin{eqnarray*} e=b\cdot cos\alpha\quad{ }f=c-e\quad{ }b\cdot cos\alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2c} \end{eqnarray*}$

so kommst du schnell auf

$\begin{eqnarray*} 4c^2h^2_c=(2(a^2-b^2-c^2)+(b^2+c^2-a^2))(b^2+c^2-a^2)=16\frac{s}{2}\cdot\frac{s-a}{2}\cdot\frac{s-b}{2}\cdot\frac{s-c}{2}\quad{} \end{eqnarray*}$ qued

mit $\begin{eqnarray*} s=\frac{a+b+c}{2} \end{eqnarray*}$

05.06.2008, 13:13

mYthos

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Zitat:

Original von Mathegreis
Schau doch mal hier, vielleicht hilft Dir das weiter:
...

Auch dort steht nicht, wie man letztendlich auf die Heron'sche Höhenformel kommt. Da muss man sich schon selbst in die Rechenarbeit hineinknien:

Infolge der Normalität der Höhe gelten

$\begin{eqnarray*} h^2 = b^2 - e^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h^2 = a^2 - f^2 \end{eqnarray*}$

Gleichsetzen und mit c = e + f ergibt

$\begin{eqnarray*} h^2 = b^2 - \frac{(c^2+b^2-a^2)^2}{4c^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h^2 = \frac{4b^2c^2-(c^2+b^2-a^2)^2}{4c^2} \end{eqnarray*}$

Binomische Zerlegung ->

$\begin{eqnarray*} h^2 = \frac{4}{c^2} \cdot \frac{(2bc + c^2 + b^2 - a^2)(2bc-c^2-b^2+a^2)}{16} \end{eqnarray*}$

Binomische Zerlegung ->

$\begin{eqnarray*} h^2 = \frac{4}{c^2} \cdot \frac{(b+c+a)(b+c-a)(a-b+c)(a+b-c)}{16} \end{eqnarray*}$

Mit

$\begin{eqnarray*} p = \frac{a+b+c}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p-a = \frac{-a+b+c}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p-b = \frac{a-b+c}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p-c = \frac{a+b-c}{2} \end{eqnarray*}$

wird's endlich gut. Big Laugh

mY+

05.06.2008, 15:15

Mathegreis

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Gestern Abend, kurz nach Mitternacht, bin ich auf die o. g. Seite gestoßen und habe versucht, die Informationen zu verarbeiten, war aber zu müde, um etwas Gescheites zu produzieren.

Mit Erstaunen stelle ich nun fest, mit welcher Leitigkeit und Eleganz Ihr das Problem gelöst habe.

Ich hoffe, die TE schaut sich Eure Rechnung an und hat noch etwas davon!

Gruß

06.06.2008, 09:25

Blümlein

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Super danke für eure zahlreiche Hilfe, das zeigt mir, dass ich auf dem richtigen Weg war, habe nämlich eine Seite gefunden zur Herleitung der Heronschen Formel und den Anfang der Herleitung versucht auf meine Situation anzuwenden und habe ähnliches gemacht wie Mythos, aber wahrscheinlich einen klitze kleinen Fehler gemacht...
Ich denke, dass ich das nun hinbekommen werde und ansonsten schreib ich wieder smile

06.06.2008, 10:14

riwe

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wie klein doch die welt ist

03.08.2008, 14:34

Matchtime

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Hallo, also die Beweisführung oder Herleitung der Formel kann ich sehr gut nachvollziehen, aber sie wurde jetzt doch eigentlich nicht über den Satz von Stewart hergeleitet oder überseh ich irgendetwas?

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