Grenzwertberechnung

04.06.2008, 15:07

MrHanky

Grenzwertberechnung

Hallo zusammen!
Bein gerade an folgender Aufgabe hängengeblieben: Berechne den Grenzwert von: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{exp(3x)-1}{x} \end{eqnarray*}$ .
Wenn ich von exp(3x)=1+3x+9/2x^2+... dann -1 abziehe und das dann durch x dividiere, erhalte ich 3+9/2x+... Also müsste der Grenzwert 3 sein. Um das irgendwie zu zeigen, könnte ich so anfangen: $\begin{eqnarray*} \frac{exp(3x)-1}{x}-3=\frac{1}{x}*(exp(3x)-1-3x) \end{eqnarray*}$ . Ja, und jetzt weiß ich nicht so recht weiter, wäre sehr nett, wenn mir da jemand helfen könnte!

Viele Grüße, MrH

04.06.2008, 15:09

tigerbine

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RE: Grenzwertberechnung
Wie wäre es mit L'hospital?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\exp(3x)-1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{3\cdot \exp(3x)}{1} = 3 \end{eqnarray*}$

04.06.2008, 15:20

klarsoweit

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RE: Grenzwertberechnung

Zitat:

Original von MrHanky
Bein gerade an folgender Aufgabe hängengeblieben: Berechne den Grenzwert von: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{exp(3x)-1}{x} \end{eqnarray*}$ .

Man könnte sich auch daran erinnern, daß das gleich f'(0) mit $\begin{eqnarray*} f(x) = e^{3x} \end{eqnarray*}$ ist.

04.06.2008, 15:27

MrHanky

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Darf ich das mit der Ableitung so ohne weiteres machen? Das wäre doch irgenwie zu einfach... müsste ich nicht erst irgendwie die Konvergenz zeigen oder noch eine Summe formulieren (damit hab ich auch so meine Probleme) ...

04.06.2008, 15:33

klarsoweit

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RE: Grenzwertberechnung
Es ist definitionsgemäß $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{e^{3h}-1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^{3(0+h)}-1}{h-0} = f'(0) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) = e^{3x} \end{eqnarray*}$

Wenn man weiß, daß die e-Funktion differenzierbar ist, darf man das so machen. smile

04.06.2008, 15:56

tigerbine

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RE: Grenzwertberechnung
Selbiges gilt für die L'Hospital Variante. Differenzierbarkeit muss bekannt sein.

04.06.2008, 16:09

MrHanky

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Ok, vielen Dank! Allerdings verstehe ich noch nicht so genau, warum das f´(0) ist. Und muss ich die Differenzierbarkeit noch nachweisen (sowohl für L´Hospital als auch für die e-Funktion)?

04.06.2008, 16:23

tigerbine

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Naja, bei der Vorstellung der E-Funktion sowie der Polynome solltet ihr das behandelt haben.

Zu der Variante von Klarsoweit, schau dir doch einmal die Definition des Differentialquotienen an (h-Methode). Das + Wissen, dass der GRenzert exisitert (da wir diff'bar voraussetzen), führt dann zu seinem Weg.

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