Mandelbrotsche Menge + PC

22.02.2006, 21:46

mf2

Mandelbrotsche Menge + PC

Hi Leute,

ich bin im Begriff im Rahmen meiner Facharbeit ein Programm zur Darstellung der Mandelbrotschen Menge zu entwickeln. Da bei der Programmierung das Rechnen mit komplexen Zahlen nicht möglich ist (ok, mit manchen Bibliotheken schon aber das ist zu langsam) habe ich mir was überlegt:
Die Standard-Formel ist ja $\begin{eqnarray*} z=z^{2} + c \end{eqnarray*}$ . Die komplexen Zahlen z und c sollen dann durch 4 reelle Variablen dargestellt werden:

$\begin{eqnarray*} z=z_{a} + z_{b}*i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c=c_{a} + c_{b}*i \end{eqnarray*}$

Die Gleichung sähe also so aus:
$\begin{eqnarray*} z_{a} + z_{b} = (z_{a} + z_{b}*i)^{2} + (c_{a}+c{b}*i) \end{eqnarray*}$

Wie kann ich nun die beiden Teile von z berechnen?
Laut Internet:

$\begin{eqnarray*} z_a = {z_a}^2 - {z_b}^2 + c_a<br /> z_b = 2z_az_b + c_b \end{eqnarray*}$

Aber wie kommt man darauf?

22.02.2006, 21:53

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RE: Mandelbrotsche Menge + PC

Zitat:

Original von mf2
Die Gleichung sähe also so aus:
$\begin{eqnarray*} z_{a} + z_{b} = (z_{a} + z_{b}*i)^{2} + (c_{a}+c{b}*i) \end{eqnarray*}$

Nicht ganz, richtig ist

$\begin{eqnarray*} z'_{a} + z'_{b} * i= (z_{a} + z_{b}*i)^{2} + (c_{a}+c_{b}*i) \end{eqnarray*}$

Rechts einfach ausmultiplizieren, $\begin{eqnarray*} i^2=-1 \end{eqnarray*}$ ersetzen, und dann steht's da.

Die ' habe ich deshalb angefügt, weil wir hier im Matheforum sind, und da ist = was anderes als in C- oder C++-Syntax...

23.02.2006, 16:19

mf2

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Schonmal danke für deine Antwort, aber wenn ich's ausmultipliziere steht da:

$\begin{eqnarray*} z'_a + z'_b * i = {z_a}^2 + 2*z_a*z_b*i - {z_b}^2 + (c_a + c_b*i) \end{eqnarray*}$

Dann steht da vereinzelt immer noch das i drin. Wie kann ich diesen Term dann umformen? Oder muss ich einfach, wenn ich den Realteil berechnen will, alles mit i streichen?

23.02.2006, 17:25

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Hmm, ein wenig Grundlagen komplexer Zahlen könnten dir nicht schaden, wenn du das weiter bearbeiten willst! Nur so viel:

$\begin{eqnarray*} a+b*i = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad a=b=0 \end{eqnarray*}$

M.a.W.: Eine komplexe Zahl ist genau dann Null, wenn sowohl Real- als auch Imaginärteil Null sind. Im vorliegenden Fall folgt also aus deinem

$\begin{eqnarray*} [ z'_a-({z_a}^2-{z_b}^2+c_a)] + [z'_b-(2*z_a*z_b+c_b)] * i = 0 \end{eqnarray*}$

direkt

$\begin{eqnarray*} z'_a-({z_a}^2-{z_b}^2+c_a) &=& 0\\ z'_b-(2*z_a*z_b+c_b) &=& 0 \end{eqnarray*}$ .

24.02.2006, 21:48

mf2

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Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} a+b*i = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad a=b=0 \end{eqnarray*}$

Dessen bin ich mir durchaus bewusst (ist ja logisch).
Aber:

Zitat:

Im vorliegenden Fall folgt also aus deinem
$\begin{eqnarray*} [ z'_a-({z_a}^2-{z_b}^2+c_a)] + [z'_b-(2*z_a*z_b+c_b)] * i = 0 \end{eqnarray*}$

Meinem? Meines sah doch ganz anders aus. (Ich meine das, was ich ausmultipliziert habe). Wie hast du diese Umformung vorgenommen?

24.02.2006, 22:08

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Wenn ich $\begin{eqnarray*} u=v \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} u-v=0 \end{eqnarray*}$ umforme, sollte dich das nicht gleich aus dem Tritt bringen!!! Und mehr habe ich nicht gemacht, die rechte Seite also durch Subtraktion auf die linke gebracht.

24.02.2006, 22:42

mf2

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Jetzt ist der Groschen gefallen! Habe es grad nochma per Hand durchgerechnet unb dann hatte ich es auf einmal kapiert.

Vielen Dank, Arthur!

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